Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57750 / 85190
↖ ↑ ↗
← S 47.409503°
W 21.384888°		 ← 206.70 m → S 47.409503°
W 21.382141°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 47.411361°
W 21.384888°		 ← 206.69 m →
42 719 m²		 S 47.411361°
W 21.382141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440601348876953 y=0.649951934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440601348876953 × 217)
    floor (0.440601348876953 × 131072)
    floor (57750.5)     		tx = 57750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649951934814453 × 217)
    floor (0.649951934814453 × 131072)
    floor (85190.5)     		ty = 85190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57750 / 85190 ti = "17/57750/85190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57750/85190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57750 ÷ 217
    57750 ÷ 131072     		x = 0.440597534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85190 ÷ 217
    85190 ÷ 131072     		y = 0.649948120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440597534179688 × 2 - 1) × π
    -0.118804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37323670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.299896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.942151825132584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37323670} λ = -0.37323670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942151825132584))-π/2
    2×atan(0.389788176288648)-π/2
    2×0.371672201876653-π/2
    0.743344403753307-1.57079632675     		φ = -0.82745192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37323670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.384888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82745192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.409503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57750 KachelY 85190 -0.37323670 -0.82745192 -21.384888 -47.409503
    Oben rechts KachelX + 1 57751 KachelY 85190 -0.37318876 -0.82745192 -21.382141 -47.409503
    Unten links KachelX 57750 KachelY + 1 85191 -0.37323670 -0.82748436 -21.384888 -47.411361
    Unten rechts KachelX + 1 57751 KachelY + 1 85191 -0.37318876 -0.82748436 -21.382141 -47.411361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82745192--0.82748436) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82745192--0.82748436) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37323670--0.37318876) × cos(-0.82745192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676753875318967 × 6371000     		do = 206.698053167028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37323670--0.37318876) × cos(-0.82748436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676729992331891 × 6371000     		du = 206.690758688027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82745192)-sin(-0.82748436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676753875318967-0.676729992331891)×R²
    abs(-0.37318876--0.37323670)×2.38829870763402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38829870763402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38829870763402e-05×40589641000000     		ar = 42718.6159554833m²