Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57750 / 84844
↖ ↑ ↗
← S 46.762443°
W 21.384888°		 ← 209.22 m → S 46.762443°
W 21.382141°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
S 46.764324°
W 21.384888°		 ← 209.22 m →
43 761 m²		 S 46.764324°
W 21.382141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440601348876953 y=0.647312164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440601348876953 × 217)
    floor (0.440601348876953 × 131072)
    floor (57750.5)     		tx = 57750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647312164306641 × 217)
    floor (0.647312164306641 × 131072)
    floor (84844.5)     		ty = 84844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57750 / 84844 ti = "17/57750/84844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57750/84844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57750 ÷ 217
    57750 ÷ 131072     		x = 0.440597534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84844 ÷ 217
    84844 ÷ 131072     		y = 0.647308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440597534179688 × 2 - 1) × π
    -0.118804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37323670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.29461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.925565657864044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37323670} λ = -0.37323670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925565657864044))-π/2
    2×atan(0.396307181386338)-π/2
    2×0.377318864638938-π/2
    0.754637729277876-1.57079632675     		φ = -0.81615860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37323670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.384888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81615860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.762443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57750 KachelY 84844 -0.37323670 -0.81615860 -21.384888 -46.762443
    Oben rechts KachelX + 1 57751 KachelY 84844 -0.37318876 -0.81615860 -21.382141 -46.762443
    Unten links KachelX 57750 KachelY + 1 84845 -0.37323670 -0.81619143 -21.384888 -46.764324
    Unten rechts KachelX + 1 57751 KachelY + 1 84845 -0.37318876 -0.81619143 -21.382141 -46.764324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81615860--0.81619143) × R
    3.28300000000947e-05 × 6371000     		dl = 209.159930000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81615860--0.81619143) × R
    3.28300000000947e-05 × 6371000     		dr = 209.159930000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37323670--0.37318876) × cos(-0.81615860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685024790427807 × 6371000     		do = 209.224203534621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37323670--0.37318876) × cos(-0.81619143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685000872755023 × 6371000     		du = 209.216898461711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81615860)-sin(-0.81619143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685024790427807-0.685000872755023)×R²
    abs(-0.37318876--0.37323670)×2.39176727846457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39176727846457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39176727846457e-05×40589641000000     		ar = 43760.5558053805m²