Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57746 / 84894
↖ ↑ ↗
← S 46.856435°
W 21.395874°		 ← 208.86 m → S 46.856435°
W 21.393127°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
S 46.858313°
W 21.395874°		 ← 208.85 m →
43 618 m²		 S 46.858313°
W 21.393127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440570831298828 y=0.647693634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440570831298828 × 217)
    floor (0.440570831298828 × 131072)
    floor (57746.5)     		tx = 57746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647693634033203 × 217)
    floor (0.647693634033203 × 131072)
    floor (84894.5)     		ty = 84894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57746 / 84894 ti = "17/57746/84894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57746/84894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57746 ÷ 217
    57746 ÷ 131072     		x = 0.440567016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84894 ÷ 217
    84894 ÷ 131072     		y = 0.647689819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440567016601562 × 2 - 1) × π
    -0.118865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37342845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647689819335938 × 2 - 1) × π
    -0.295379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.927962502845047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37342845} λ = -0.37342845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927962502845047))-π/2
    2×atan(0.395358431964544)-π/2
    2×0.376498632222128-π/2
    0.752997264444256-1.57079632675     		φ = -0.81779906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37342845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.395874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81779906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.856435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57746 KachelY 84894 -0.37342845 -0.81779906 -21.395874 -46.856435
    Oben rechts KachelX + 1 57747 KachelY 84894 -0.37338051 -0.81779906 -21.393127 -46.856435
    Unten links KachelX 57746 KachelY + 1 84895 -0.37342845 -0.81783184 -21.395874 -46.858313
    Unten rechts KachelX + 1 57747 KachelY + 1 84895 -0.37338051 -0.81783184 -21.393127 -46.858313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81779906--0.81783184) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dl = 208.84137999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81779906--0.81783184) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dr = 208.84137999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37342845--0.37338051) × cos(-0.81779906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683828761705099 × 6371000     		do = 208.858905577169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37342845--0.37338051) × cos(-0.81783184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683804843655504 × 6371000     		du = 208.851600389172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81779906)-sin(-0.81783184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683828761705099-0.683804843655504)×R²
    abs(-0.37338051--0.37342845)×2.39180495950064e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39180495950064e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39180495950064e-05×40589641000000     		ar = 43617.619257169m²