Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57744 / 85968
↖ ↑ ↗
← S 48.835798°
W 21.401367°		 ← 201.04 m → S 48.835798°
W 21.398620°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
S 48.837605°
W 21.401367°		 ← 201.03 m →
40 409 m²		 S 48.837605°
W 21.398620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440555572509766 y=0.655887603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440555572509766 × 217)
    floor (0.440555572509766 × 131072)
    floor (57744.5)     		tx = 57744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655887603759766 × 217)
    floor (0.655887603759766 × 131072)
    floor (85968.5)     		ty = 85968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57744 / 85968 ti = "17/57744/85968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57744/85968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57744 ÷ 217
    57744 ÷ 131072     		x = 0.4405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85968 ÷ 217
    85968 ÷ 131072     		y = 0.6558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37352432} λ = -0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979446733036987))-π/2
    2×atan(0.375518803536018)-π/2
    2×0.359225434128406-π/2
    0.718450868256812-1.57079632675     		φ = -0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57744 KachelY 85968 -0.37352432 -0.85234546 -21.401367 -48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 57745 KachelY 85968 -0.37347638 -0.85234546 -21.398620 -48.835798
    Unten links KachelX 57744 KachelY + 1 85969 -0.37352432 -0.85237701 -21.401367 -48.837605
    Unten rechts KachelX + 1 57745 KachelY + 1 85969 -0.37347638 -0.85237701 -21.398620 -48.837605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85234546--0.85237701) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85234546--0.85237701) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37352432--0.37347638) × cos(-0.85234546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 201.037096632427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37352432--0.37347638) × cos(-0.85237701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658195482021075 × 6371000     		du = 201.029842161045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85234546)-sin(-0.85237701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.658195482021075)×R²
    abs(-0.37347638--0.37352432)×2.37519973994571e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37519973994571e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37519973994571e-05×40589641000000     		ar = 40408.7425710513m²