Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57743 / 84815
↖ ↑ ↗
← S 46.707852°
W 21.404114°		 ← 209.44 m → S 46.707852°
W 21.401367°		 →
↑
209.41 m
↓
↑
209.41 m
↓
S 46.709736°
W 21.404114°		 ← 209.43 m →
43 858 m²		 S 46.709736°
W 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440547943115234 y=0.647090911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440547943115234 × 217)
    floor (0.440547943115234 × 131072)
    floor (57743.5)     		tx = 57743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647090911865234 × 217)
    floor (0.647090911865234 × 131072)
    floor (84815.5)     		ty = 84815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57743 / 84815 ti = "17/57743/84815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57743/84815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57743 ÷ 217
    57743 ÷ 131072     		x = 0.440544128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84815 ÷ 217
    84815 ÷ 131072     		y = 0.647087097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440544128417969 × 2 - 1) × π
    -0.118911743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37357226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647087097167969 × 2 - 1) × π
    -0.294174194335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.924175487775063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37357226} λ = -0.37357226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924175487775063))-π/2
    2×atan(0.396858498899719)-π/2
    2×0.377795256251087-π/2
    0.755590512502175-1.57079632675     		φ = -0.81520581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37357226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.404114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81520581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.707852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57743 KachelY 84815 -0.37357226 -0.81520581 -21.404114 -46.707852
    Oben rechts KachelX + 1 57744 KachelY 84815 -0.37352432 -0.81520581 -21.401367 -46.707852
    Unten links KachelX 57743 KachelY + 1 84816 -0.37357226 -0.81523868 -21.404114 -46.709736
    Unten rechts KachelX + 1 57744 KachelY + 1 84816 -0.37352432 -0.81523868 -21.401367 -46.709736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81520581--0.81523868) × R
    3.28699999999627e-05 × 6371000     		dl = 209.414769999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81520581--0.81523868) × R
    3.28699999999627e-05 × 6371000     		dr = 209.414769999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37357226--0.37352432) × cos(-0.81520581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685718605726424 × 6371000     		do = 209.436112585624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37357226--0.37352432) × cos(-0.81523868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685694680376189 × 6371000     		du = 209.428805167824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81520581)-sin(-0.81523868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685718605726424-0.685694680376189)×R²
    abs(-0.37352432--0.37357226)×2.39253502350989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39253502350989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39253502350989e-05×40589641000000     		ar = 43858.2502100243m²