Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57743 / 84813
↖ ↑ ↗
← S 46.704086°
W 21.404114°		 ← 209.45 m → S 46.704086°
W 21.401367°		 →
↑
209.41 m
↓
↑
209.41 m
↓
S 46.705969°
W 21.404114°		 ← 209.44 m →
43 861 m²		 S 46.705969°
W 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440547943115234 y=0.647075653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440547943115234 × 217)
    floor (0.440547943115234 × 131072)
    floor (57743.5)     		tx = 57743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647075653076172 × 217)
    floor (0.647075653076172 × 131072)
    floor (84813.5)     		ty = 84813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57743 / 84813 ti = "17/57743/84813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57743/84813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57743 ÷ 217
    57743 ÷ 131072     		x = 0.440544128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84813 ÷ 217
    84813 ÷ 131072     		y = 0.647071838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440544128417969 × 2 - 1) × π
    -0.118911743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37357226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647071838378906 × 2 - 1) × π
    -0.294143676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.924079613975823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37357226} λ = -0.37357226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924079613975823))-π/2
    2×atan(0.396896549055747)-π/2
    2×0.377828128621843-π/2
    0.755656257243686-1.57079632675     		φ = -0.81514007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37357226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.404114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81514007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.704086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57743 KachelY 84813 -0.37357226 -0.81514007 -21.404114 -46.704086
    Oben rechts KachelX + 1 57744 KachelY 84813 -0.37352432 -0.81514007 -21.401367 -46.704086
    Unten links KachelX 57743 KachelY + 1 84814 -0.37357226 -0.81517294 -21.404114 -46.705969
    Unten rechts KachelX + 1 57744 KachelY + 1 84814 -0.37352432 -0.81517294 -21.401367 -46.705969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81514007--0.81517294) × R
    3.28699999999627e-05 × 6371000     		dl = 209.414769999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81514007--0.81517294) × R
    3.28699999999627e-05 × 6371000     		dr = 209.414769999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37357226--0.37352432) × cos(-0.81514007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685766454204241 × 6371000     		do = 209.450726742369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37357226--0.37352432) × cos(-0.81517294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685742530335783 × 6371000     		du = 209.443419777142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81514007)-sin(-0.81517294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685766454204241-0.685742530335783)×R²
    abs(-0.37352432--0.37357226)×2.39238684579535e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39238684579535e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39238684579535e-05×40589641000000     		ar = 43861.3106776024m²