Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57742 / 85179
↖ ↑ ↗
← S 47.389053°
W 21.406861°		 ← 206.78 m → S 47.389053°
W 21.404114°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 47.390912°
W 21.406861°		 ← 206.77 m →
42 748 m²		 S 47.390912°
W 21.404114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440540313720703 y=0.649868011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440540313720703 × 217)
    floor (0.440540313720703 × 131072)
    floor (57742.5)     		tx = 57742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649868011474609 × 217)
    floor (0.649868011474609 × 131072)
    floor (85179.5)     		ty = 85179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57742 / 85179 ti = "17/57742/85179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57742/85179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57742 ÷ 217
    57742 ÷ 131072     		x = 0.440536499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85179 ÷ 217
    85179 ÷ 131072     		y = 0.649864196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440536499023438 × 2 - 1) × π
    -0.118927001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37362020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649864196777344 × 2 - 1) × π
    -0.299728393554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.941624519236763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37362020} λ = -0.37362020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941624519236763))-π/2
    2×atan(0.389993768092247)-π/2
    2×0.37185066466457-π/2
    0.74370132932914-1.57079632675     		φ = -0.82709500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37362020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.406861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82709500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.389053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57742 KachelY 85179 -0.37362020 -0.82709500 -21.406861 -47.389053
    Oben rechts KachelX + 1 57743 KachelY 85179 -0.37357226 -0.82709500 -21.404114 -47.389053
    Unten links KachelX 57742 KachelY + 1 85180 -0.37362020 -0.82712745 -21.406861 -47.390912
    Unten rechts KachelX + 1 57743 KachelY + 1 85180 -0.37357226 -0.82712745 -21.404114 -47.390912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82709500--0.82712745) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82709500--0.82712745) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37362020--0.37357226) × cos(-0.82709500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67701660004453 × 6371000     		do = 206.778296060988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37362020--0.37357226) × cos(-0.82712745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676992717534724 × 6371000     		du = 206.771001727758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82709500)-sin(-0.82712745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67701660004453-0.676992717534724)×R²
    abs(-0.37357226--0.37362020)×2.38825098060058e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38825098060058e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38825098060058e-05×40589641000000     		ar = 42748.3738028126m²