Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57738 / 81438
↖ ↑ ↗
← S 39.972911°
W 21.417846°		 ← 234.01 m → S 39.972911°
W 21.415100°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 39.975016°
W 21.417846°		 ← 234.01 m →
54 775 m²		 S 39.975016°
W 21.415100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440509796142578 y=0.621326446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440509796142578 × 217)
    floor (0.440509796142578 × 131072)
    floor (57738.5)     		tx = 57738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621326446533203 × 217)
    floor (0.621326446533203 × 131072)
    floor (81438.5)     		ty = 81438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57738 / 81438 ti = "17/57738/81438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57738/81438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57738 ÷ 217
    57738 ÷ 131072     		x = 0.440505981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81438 ÷ 217
    81438 ÷ 131072     		y = 0.621322631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440505981445312 × 2 - 1) × π
    -0.118988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37381194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621322631835938 × 2 - 1) × π
    -0.242645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.762292577758133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37381194} λ = -0.37381194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762292577758133))-π/2
    2×atan(0.466595493429435)-π/2
    2×0.436568713042948-π/2
    0.873137426085896-1.57079632675     		φ = -0.69765890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37381194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.417846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69765890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.972911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57738 KachelY 81438 -0.37381194 -0.69765890 -21.417846 -39.972911
    Oben rechts KachelX + 1 57739 KachelY 81438 -0.37376401 -0.69765890 -21.415100 -39.972911
    Unten links KachelX 57738 KachelY + 1 81439 -0.37381194 -0.69769564 -21.417846 -39.975016
    Unten rechts KachelX + 1 57739 KachelY + 1 81439 -0.37376401 -0.69769564 -21.415100 -39.975016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69765890--0.69769564) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69765890--0.69769564) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37381194--0.37376401) × cos(-0.69765890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766348267981274 × 6371000     		do = 234.013662797889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37381194--0.37376401) × cos(-0.69769564) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766324664756649 × 6371000     		du = 234.006455269303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69765890)-sin(-0.69769564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766348267981274-0.766324664756649)×R²
    abs(-0.37376401--0.37381194)×2.3603224625246e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3603224625246e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3603224625246e-05×40589641000000     		ar = 54774.860889599m²