Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57738 / 44427
↖ ↑ ↗
← N 50.044793°
W 21.417846°		 ← 196.10 m → N 50.044793°
W 21.415100°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 50.043030°
W 21.417846°		 ← 196.11 m →
38 456 m²		 N 50.043030°
W 21.415100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440509796142578 y=0.338954925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440509796142578 × 217)
    floor (0.440509796142578 × 131072)
    floor (57738.5)     		tx = 57738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338954925537109 × 217)
    floor (0.338954925537109 × 131072)
    floor (44427.5)     		ty = 44427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57738 / 44427 ti = "17/57738/44427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57738/44427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57738 ÷ 217
    57738 ÷ 131072     		x = 0.440505981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44427 ÷ 217
    44427 ÷ 131072     		y = 0.338951110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440505981445312 × 2 - 1) × π
    -0.118988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37381194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338951110839844 × 2 - 1) × π
    0.322097778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01190001407977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37381194} λ = -0.37381194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01190001407977))-π/2
    2×atan(2.75082265462639)-π/2
    2×1.22212137428573-π/2
    2.44424274857147-1.57079632675     		φ = 0.87344642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37381194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.417846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87344642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.044793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57738 KachelY 44427 -0.37381194 0.87344642 -21.417846 50.044793
    Oben rechts KachelX + 1 57739 KachelY 44427 -0.37376401 0.87344642 -21.415100 50.044793
    Unten links KachelX 57738 KachelY + 1 44428 -0.37381194 0.87341564 -21.417846 50.043030
    Unten rechts KachelX + 1 57739 KachelY + 1 44428 -0.37376401 0.87341564 -21.415100 50.043030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87344642-0.87341564) × R
    3.0779999999897e-05 × 6371000     		dl = 196.099379999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87344642-0.87341564) × R
    3.0779999999897e-05 × 6371000     		dr = 196.099379999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37381194--0.37376401) × cos(0.87344642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.642188524359528 × 6371000     		do = 196.09999144125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37381194--0.37376401) × cos(0.87341564) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.642212118363866 × 6371000     		du = 196.10719615431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87344642)-sin(0.87341564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642188524359528-0.642212118363866)×R²
    abs(-0.37376401--0.37381194)×2.35940043371574e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35940043371574e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35940043371574e-05×40589641000000     		ar = 38455.7931624202m²