Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57736 / 85120
↖ ↑ ↗
← S 47.279229°
W 21.423340°		 ← 207.21 m → S 47.279229°
W 21.420593°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
S 47.281092°
W 21.423340°		 ← 207.20 m →
42 930 m²		 S 47.281092°
W 21.420593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440494537353516 y=0.649417877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440494537353516 × 217)
    floor (0.440494537353516 × 131072)
    floor (57736.5)     		tx = 57736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649417877197266 × 217)
    floor (0.649417877197266 × 131072)
    floor (85120.5)     		ty = 85120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57736 / 85120 ti = "17/57736/85120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57736/85120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57736 ÷ 217
    57736 ÷ 131072     		x = 0.44049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85120 ÷ 217
    85120 ÷ 131072     		y = 0.6494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37390782} λ = -0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93879624215918))-π/2
    2×atan(0.391098339808072)-π/2
    2×0.372809056456923-π/2
    0.745618112913845-1.57079632675     		φ = -0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57736 KachelY 85120 -0.37390782 -0.82517821 -21.423340 -47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 57737 KachelY 85120 -0.37385988 -0.82517821 -21.420593 -47.279229
    Unten links KachelX 57736 KachelY + 1 85121 -0.37390782 -0.82521073 -21.423340 -47.281092
    Unten rechts KachelX + 1 57737 KachelY + 1 85121 -0.37385988 -0.82521073 -21.420593 -47.281092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82517821--0.82521073) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82517821--0.82521073) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37390782--0.37385988) × cos(-0.82517821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 207.208778689295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37390782--0.37385988) × cos(-0.82521073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678402159304448 × 6371000     		du = 207.201481523263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82517821)-sin(-0.82521073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678402159304448)×R²
    abs(-0.37385988--0.37390782)×2.38917847317222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38917847317222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38917847317222e-05×40589641000000     		ar = 42929.778308477m²