Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57736 / 38548
↖ ↑ ↗
← N 59.327585°
W 21.423340°		 ← 155.81 m → N 59.327585°
W 21.420593°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 59.326184°
W 21.423340°		 ← 155.81 m →
24 271 m²		 N 59.326184°
W 21.420593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440494537353516 y=0.294101715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440494537353516 × 217)
    floor (0.440494537353516 × 131072)
    floor (57736.5)     		tx = 57736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294101715087891 × 217)
    floor (0.294101715087891 × 131072)
    floor (38548.5)     		ty = 38548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57736 / 38548 ti = "17/57736/38548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57736/38548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57736 ÷ 217
    57736 ÷ 131072     		x = 0.44049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38548 ÷ 217
    38548 ÷ 131072     		y = 0.294097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294097900390625 × 2 - 1) × π
    0.41180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29372104694608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37390782} λ = -0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29372104694608))-π/2
    2×atan(3.64632950642293)-π/2
    2×1.30312901502909-π/2
    2.60625803005818-1.57079632675     		φ = 1.03546170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03546170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.327585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57736 KachelY 38548 -0.37390782 1.03546170 -21.423340 59.327585
    Oben rechts KachelX + 1 57737 KachelY 38548 -0.37385988 1.03546170 -21.420593 59.327585
    Unten links KachelX 57736 KachelY + 1 38549 -0.37390782 1.03543725 -21.423340 59.326184
    Unten rechts KachelX + 1 57737 KachelY + 1 38549 -0.37385988 1.03543725 -21.420593 59.326184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03546170-1.03543725) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03546170-1.03543725) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37390782--0.37385988) × cos(1.03546170) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510128879812739 × 6371000     		do = 155.806490612255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37390782--0.37385988) × cos(1.03543725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510149909055739 × 6371000     		du = 155.81291348436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03546170)-sin(1.03543725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510128879812739-0.510149909055739)×R²
    abs(-0.37385988--0.37390782)×2.10292429996262e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10292429996262e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10292429996262e-05×40589641000000     		ar = 24270.6253084261m²