Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57733 / 44432
↖ ↑ ↗
← N 50.035974°
W 21.431580°		 ← 196.18 m → N 50.035974°
W 21.428833°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
N 50.034209°
W 21.431580°		 ← 196.18 m →
38 496 m²		 N 50.034209°
W 21.428833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440471649169922 y=0.338993072509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440471649169922 × 217)
    floor (0.440471649169922 × 131072)
    floor (57733.5)     		tx = 57733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338993072509766 × 217)
    floor (0.338993072509766 × 131072)
    floor (44432.5)     		ty = 44432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57733 / 44432 ti = "17/57733/44432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57733/44432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57733 ÷ 217
    57733 ÷ 131072     		x = 0.440467834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44432 ÷ 217
    44432 ÷ 131072     		y = 0.3389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440467834472656 × 2 - 1) × π
    -0.119064331054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37405163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3389892578125 × 2 - 1) × π
    0.322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01166032958167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37405163} λ = -0.37405163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01166032958167))-π/2
    2×atan(2.75016340408828)-π/2
    2×1.22204440589867-π/2
    2.44408881179733-1.57079632675     		φ = 0.87329249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37405163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.431580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87329249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.035974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57733 KachelY 44432 -0.37405163 0.87329249 -21.431580 50.035974
    Oben rechts KachelX + 1 57734 KachelY 44432 -0.37400369 0.87329249 -21.428833 50.035974
    Unten links KachelX 57733 KachelY + 1 44433 -0.37405163 0.87326169 -21.431580 50.034209
    Unten rechts KachelX + 1 57734 KachelY + 1 44433 -0.37400369 0.87326169 -21.428833 50.034209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87329249-0.87326169) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87329249-0.87326169) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37405163--0.37400369) × cos(0.87329249) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642306511290056 × 6371000     		do = 196.176941517682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37405163--0.37400369) × cos(0.87326169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642330117579953 × 6371000     		du = 196.184151486243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87329249)-sin(0.87326169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642306511290056-0.642330117579953)×R²
    abs(-0.37400369--0.37405163)×2.36062898967271e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36062898967271e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36062898967271e-05×40589641000000     		ar = 38495.8808653488m²