Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57732 / 44435
↖ ↑ ↗
← N 50.030681°
W 21.434326°		 ← 196.16 m → N 50.030681°
W 21.431580°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
N 50.028917°
W 21.434326°		 ← 196.16 m →
38 480 m²		 N 50.028917°
W 21.431580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440464019775391 y=0.339015960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440464019775391 × 217)
    floor (0.440464019775391 × 131072)
    floor (57732.5)     		tx = 57732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339015960693359 × 217)
    floor (0.339015960693359 × 131072)
    floor (44435.5)     		ty = 44435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57732 / 44435 ti = "17/57732/44435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57732/44435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57732 ÷ 217
    57732 ÷ 131072     		x = 0.440460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44435 ÷ 217
    44435 ÷ 131072     		y = 0.339012145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.11907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37409956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339012145996094 × 2 - 1) × π
    0.321975708007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0115165188828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37409956} λ = -0.37409956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0115165188828))-π/2
    2×atan(2.74976792960457)-π/2
    2×1.22199821807888-π/2
    2.44399643615776-1.57079632675     		φ = 0.87320011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37409956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.434326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87320011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.030681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57732 KachelY 44435 -0.37409956 0.87320011 -21.434326 50.030681
    Oben rechts KachelX + 1 57733 KachelY 44435 -0.37405163 0.87320011 -21.431580 50.030681
    Unten links KachelX 57732 KachelY + 1 44436 -0.37409956 0.87316932 -21.434326 50.028917
    Unten rechts KachelX + 1 57733 KachelY + 1 44436 -0.37405163 0.87316932 -21.431580 50.028917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87320011-0.87316932) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dl = 196.163089999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87320011-0.87316932) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dr = 196.163089999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37409956--0.37405163) × cos(0.87320011) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.642377313003933 × 6371000     		do = 196.157640324719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37409956--0.37405163) × cos(0.87316932) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64240090980245 × 6371000     		du = 196.164845891016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87320011)-sin(0.87316932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642377313003933-0.64240090980245)×R²
    abs(-0.37405163--0.37409956)×2.3596798517489e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3596798517489e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3596798517489e-05×40589641000000     		ar = 38479.5955891598m²