Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57729 / 44674
↖ ↑ ↗
← N 49.607151°
W 21.442566°		 ← 197.92 m → N 49.607151°
W 21.439819°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 49.605370°
W 21.442566°		 ← 197.93 m →
39 179 m²		 N 49.605370°
W 21.439819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440441131591797 y=0.340839385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440441131591797 × 217)
    floor (0.440441131591797 × 131072)
    floor (57729.5)     		tx = 57729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340839385986328 × 217)
    floor (0.340839385986328 × 131072)
    floor (44674.5)     		ty = 44674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57729 / 44674 ti = "17/57729/44674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57729/44674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57729 ÷ 217
    57729 ÷ 131072     		x = 0.440437316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44674 ÷ 217
    44674 ÷ 131072     		y = 0.340835571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440437316894531 × 2 - 1) × π
    -0.119125366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37424338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340835571289062 × 2 - 1) × π
    0.318328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00005959987361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37424338} λ = -0.37424338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00005959987361))-π/2
    2×atan(2.71844384254042)-π/2
    2×1.21830221655539-π/2
    2.43660443311077-1.57079632675     		φ = 0.86580811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37424338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.442566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86580811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.607151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57729 KachelY 44674 -0.37424338 0.86580811 -21.442566 49.607151
    Oben rechts KachelX + 1 57730 KachelY 44674 -0.37419544 0.86580811 -21.439819 49.607151
    Unten links KachelX 57729 KachelY + 1 44675 -0.37424338 0.86577704 -21.442566 49.605370
    Unten rechts KachelX + 1 57730 KachelY + 1 44675 -0.37419544 0.86577704 -21.439819 49.605370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86580811-0.86577704) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86580811-0.86577704) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37424338--0.37419544) × cos(0.86580811) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648024855265496 × 6371000     		do = 197.923470957956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37424338--0.37419544) × cos(0.86577704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648048518460868 × 6371000     		du = 197.930698306914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86580811)-sin(0.86577704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648024855265496-0.648048518460868)×R²
    abs(-0.37419544--0.37424338)×2.36631953719479e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36631953719479e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36631953719479e-05×40589641000000     		ar = 39179.066687136m²