Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57728 / 38785
↖ ↑ ↗
← N 58.993896°
W 21.445312°		 ← 157.30 m → N 58.993896°
W 21.442566°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 58.992482°
W 21.445312°		 ← 157.31 m →
24 744 m²		 N 58.992482°
W 21.442566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440433502197266 y=0.295909881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440433502197266 × 217)
    floor (0.440433502197266 × 131072)
    floor (57728.5)     		tx = 57728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295909881591797 × 217)
    floor (0.295909881591797 × 131072)
    floor (38785.5)     		ty = 38785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57728 / 38785 ti = "17/57728/38785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57728/38785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57728 ÷ 217
    57728 ÷ 131072     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38785 ÷ 217
    38785 ÷ 131072     		y = 0.295906066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295906066894531 × 2 - 1) × π
    0.408187866210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.28236000173612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28236000173612))-π/2
    2×atan(3.60513782538674)-π/2
    2×1.30021702852305-π/2
    2.6004340570461-1.57079632675     		φ = 1.02963773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02963773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.993896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57728 KachelY 38785 -0.37429131 1.02963773 -21.445312 58.993896
    Oben rechts KachelX + 1 57729 KachelY 38785 -0.37424338 1.02963773 -21.442566 58.993896
    Unten links KachelX 57728 KachelY + 1 38786 -0.37429131 1.02961304 -21.445312 58.992482
    Unten rechts KachelX + 1 57729 KachelY + 1 38786 -0.37424338 1.02961304 -21.442566 58.992482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02963773-1.02961304) × R
    2.46899999998274e-05 × 6371000     		dl = 157.2999899989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02963773-1.02961304) × R
    2.46899999998274e-05 × 6371000     		dr = 157.2999899989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37424338) × cos(1.02963773) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.515129384885678 × 6371000     		do = 157.300954681256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37424338) × cos(1.02961304) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.51515054683455 × 6371000     		du = 157.307416736922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02963773)-sin(1.02961304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515129384885678-0.51515054683455)×R²
    abs(-0.37424338--0.37429131)×2.11619488719172e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11619488719172e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11619488719172e-05×40589641000000     		ar = 24743.9468399866m²