Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57727 / 38784
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
W 21.448059°		 ← 157.33 m → N 58.995311°
W 21.445312°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 58.993896°
W 21.448059°		 ← 157.33 m →
24 748 m²		 N 58.993896°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440425872802734 y=0.295902252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440425872802734 × 217)
    floor (0.440425872802734 × 131072)
    floor (57727.5)     		tx = 57727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295902252197266 × 217)
    floor (0.295902252197266 × 131072)
    floor (38784.5)     		ty = 38784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57727 / 38784 ti = "17/57727/38784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57727/38784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57727 ÷ 217
    57727 ÷ 131072     		x = 0.440422058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38784 ÷ 217
    38784 ÷ 131072     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440422058105469 × 2 - 1) × π
    -0.119155883789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37433925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37433925} λ = -0.37433925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37433925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.448059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57727 KachelY 38784 -0.37433925 1.02966242 -21.448059 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 57728 KachelY 38784 -0.37429131 1.02966242 -21.445312 58.995311
    Unten links KachelX 57727 KachelY + 1 38785 -0.37433925 1.02963773 -21.448059 58.993896
    Unten rechts KachelX + 1 57728 KachelY + 1 38785 -0.37429131 1.02963773 -21.445312 58.993896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02963773) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dl = 157.299990000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02963773) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dr = 157.299990000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37433925--0.37429131) × cos(1.02966242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 157.327310074728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37433925--0.37429131) × cos(1.02963773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515129384885678 × 6371000     		du = 157.333773574532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02963773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.515129384885678)×R²
    abs(-0.37429131--0.37433925)×2.11622628930597e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11622628930597e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11622628930597e-05×40589641000000     		ar = 24748.0926571523m²