Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57724 / 84654
↖ ↑ ↗
← S 46.403776°
W 21.456299°		 ← 210.61 m → S 46.403776°
W 21.453552°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 46.405670°
W 21.456299°		 ← 210.61 m →
44 346 m²		 S 46.405670°
W 21.453552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440402984619141 y=0.645862579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440402984619141 × 217)
    floor (0.440402984619141 × 131072)
    floor (57724.5)     		tx = 57724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645862579345703 × 217)
    floor (0.645862579345703 × 131072)
    floor (84654.5)     		ty = 84654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57724 / 84654 ti = "17/57724/84654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57724/84654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57724 ÷ 217
    57724 ÷ 131072     		x = 0.440399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84654 ÷ 217
    84654 ÷ 131072     		y = 0.645858764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645858764648438 × 2 - 1) × π
    -0.291717529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.916457646936234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37448306} λ = -0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916457646936234))-π/2
    2×atan(0.399933239546986)-π/2
    2×0.380448823672833-π/2
    0.760897647345665-1.57079632675     		φ = -0.80989868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80989868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.403776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57724 KachelY 84654 -0.37448306 -0.80989868 -21.456299 -46.403776
    Oben rechts KachelX + 1 57725 KachelY 84654 -0.37443512 -0.80989868 -21.453552 -46.403776
    Unten links KachelX 57724 KachelY + 1 84655 -0.37448306 -0.80993173 -21.456299 -46.405670
    Unten rechts KachelX + 1 57725 KachelY + 1 84655 -0.37443512 -0.80993173 -21.453552 -46.405670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80989868--0.80993173) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80989868--0.80993173) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37448306--0.37443512) × cos(-0.80989868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689571814189022 × 6371000     		do = 210.612981631686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37448306--0.37443512) × cos(-0.80993173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689547878430298 × 6371000     		du = 210.605671034866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80989868)-sin(-0.80993173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689571814189022-0.689547878430298)×R²
    abs(-0.37443512--0.37448306)×2.39357587238365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39357587238365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39357587238365e-05×40589641000000     		ar = 44346.2262009886m²