Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57723 / 38771
↖ ↑ ↗
← N 59.013698°
W 21.459046°		 ← 157.24 m → N 59.013698°
W 21.456299°		 →
↑
157.24 m
↓
↑
157.24 m
↓
N 59.012284°
W 21.459046°		 ← 157.25 m →
24 725 m²		 N 59.012284°
W 21.456299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440395355224609 y=0.295803070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440395355224609 × 217)
    floor (0.440395355224609 × 131072)
    floor (57723.5)     		tx = 57723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295803070068359 × 217)
    floor (0.295803070068359 × 131072)
    floor (38771.5)     		ty = 38771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57723 / 38771 ti = "17/57723/38771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57723/38771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57723 ÷ 217
    57723 ÷ 131072     		x = 0.440391540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38771 ÷ 217
    38771 ÷ 131072     		y = 0.295799255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440391540527344 × 2 - 1) × π
    -0.119216918945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37453100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295799255371094 × 2 - 1) × π
    0.408401489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.2830311183308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37453100} λ = -0.37453100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2830311183308))-π/2
    2×atan(3.60755810526162)-π/2
    2×1.30038983475307-π/2
    2.60077966950613-1.57079632675     		φ = 1.02998334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37453100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.459046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02998334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.013698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57723 KachelY 38771 -0.37453100 1.02998334 -21.459046 59.013698
    Oben rechts KachelX + 1 57724 KachelY 38771 -0.37448306 1.02998334 -21.456299 59.013698
    Unten links KachelX 57723 KachelY + 1 38772 -0.37453100 1.02995866 -21.459046 59.012284
    Unten rechts KachelX + 1 57724 KachelY + 1 38772 -0.37448306 1.02995866 -21.456299 59.012284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02998334-1.02995866) × R
    2.46800000001102e-05 × 6371000     		dl = 157.236280000702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02998334-1.02995866) × R
    2.46800000001102e-05 × 6371000     		dr = 157.236280000702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37453100--0.37448306) × cos(1.02998334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514833127499669 × 6371000     		do = 157.24328894318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37453100--0.37448306) × cos(1.02995866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514854285270247 × 6371000     		du = 157.249751070915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02998334)-sin(1.02995866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514833127499669-0.514854285270247)×R²
    abs(-0.37448306--0.37453100)×2.11577705776511e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11577705776511e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11577705776511e-05×40589641000000     		ar = 24724.8578503745m²