Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57722 / 84927
↖ ↑ ↗
← S 46.918379°
W 21.461792°		 ← 208.57 m → S 46.918379°
W 21.459046°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
S 46.920255°
W 21.461792°		 ← 208.57 m →
43 505 m²		 S 46.920255°
W 21.459046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440387725830078 y=0.647945404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440387725830078 × 217)
    floor (0.440387725830078 × 131072)
    floor (57722.5)     		tx = 57722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647945404052734 × 217)
    floor (0.647945404052734 × 131072)
    floor (84927.5)     		ty = 84927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57722 / 84927 ti = "17/57722/84927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57722/84927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57722 ÷ 217
    57722 ÷ 131072     		x = 0.440383911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84927 ÷ 217
    84927 ÷ 131072     		y = 0.647941589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440383911132812 × 2 - 1) × π
    -0.119232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37457893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647941589355469 × 2 - 1) × π
    -0.295883178710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.929544420532509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37457893} λ = -0.37457893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929544420532509))-π/2
    2×atan(0.394733501892422)-π/2
    2×0.375958063953484-π/2
    0.751916127906967-1.57079632675     		φ = -0.81888020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37457893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81888020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.918379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57722 KachelY 84927 -0.37457893 -0.81888020 -21.461792 -46.918379
    Oben rechts KachelX + 1 57723 KachelY 84927 -0.37453100 -0.81888020 -21.459046 -46.918379
    Unten links KachelX 57722 KachelY + 1 84928 -0.37457893 -0.81891294 -21.461792 -46.920255
    Unten rechts KachelX + 1 57723 KachelY + 1 84928 -0.37453100 -0.81891294 -21.459046 -46.920255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81888020--0.81891294) × R
    3.27400000000866e-05 × 6371000     		dl = 208.586540000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81888020--0.81891294) × R
    3.27400000000866e-05 × 6371000     		dr = 208.586540000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37457893--0.37453100) × cos(-0.81888020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68303951648034 × 6371000     		do = 208.574333322541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37457893--0.37453100) × cos(-0.81891294) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68301560342657 × 6371000     		du = 208.567031183898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81888020)-sin(-0.81891294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68303951648034-0.68301560342657)×R²
    abs(-0.37453100--0.37457893)×2.39130537696974e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39130537696974e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39130537696974e-05×40589641000000     		ar = 43505.0369605662m²