Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57720 / 44424
↖ ↑ ↗
← N 50.050085°
W 21.467285°		 ← 196.12 m → N 50.050085°
W 21.464539°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 50.048321°
W 21.467285°		 ← 196.13 m →
38 460 m²		 N 50.048321°
W 21.464539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440372467041016 y=0.338932037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440372467041016 × 217)
    floor (0.440372467041016 × 131072)
    floor (57720.5)     		tx = 57720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338932037353516 × 217)
    floor (0.338932037353516 × 131072)
    floor (44424.5)     		ty = 44424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57720 / 44424 ti = "17/57720/44424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57720/44424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57720 ÷ 217
    57720 ÷ 131072     		x = 0.44036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44424 ÷ 217
    44424 ÷ 131072     		y = 0.33892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37467481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33892822265625 × 2 - 1) × π
    0.3221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01204382477863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37467481} λ = -0.37467481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01204382477863))-π/2
    2×atan(2.75121828080175)-π/2
    2×1.2221675485307-π/2
    2.44433509706139-1.57079632675     		φ = 0.87353877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37467481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87353877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.050085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57720 KachelY 44424 -0.37467481 0.87353877 -21.467285 50.050085
    Oben rechts KachelX + 1 57721 KachelY 44424 -0.37462687 0.87353877 -21.464539 50.050085
    Unten links KachelX 57720 KachelY + 1 44425 -0.37467481 0.87350799 -21.467285 50.048321
    Unten rechts KachelX + 1 57721 KachelY + 1 44425 -0.37462687 0.87350799 -21.464539 50.048321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87353877-0.87350799) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87353877-0.87350799) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37467481--0.37462687) × cos(0.87353877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642117731030057 × 6371000     		do = 196.119283167075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37467481--0.37462687) × cos(0.87350799) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642141326859769 × 6371000     		du = 196.126489940825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87353877)-sin(0.87350799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642117731030057-0.642141326859769)×R²
    abs(-0.37462687--0.37467481)×2.35958297122307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35958297122307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35958297122307e-05×40589641000000     		ar = 38459.5764600318m²