Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57718 / 86833
↖ ↑ ↗
← S 50.375248°
W 21.472778°		 ← 194.79 m → S 50.375248°
W 21.470031°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
S 50.377000°
W 21.472778°		 ← 194.78 m →
37 936 m²		 S 50.377000°
W 21.470031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440357208251953 y=0.662487030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440357208251953 × 217)
    floor (0.440357208251953 × 131072)
    floor (57718.5)     		tx = 57718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662487030029297 × 217)
    floor (0.662487030029297 × 131072)
    floor (86833.5)     		ty = 86833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57718 / 86833 ti = "17/57718/86833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57718/86833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57718 ÷ 217
    57718 ÷ 131072     		x = 0.440353393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86833 ÷ 217
    86833 ÷ 131072     		y = 0.662483215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440353393554688 × 2 - 1) × π
    -0.119293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37477068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662483215332031 × 2 - 1) × π
    -0.324966430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.02091215120834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37477068} λ = -0.37477068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02091215120834))-π/2
    2×atan(0.360266173028149)-π/2
    2×0.34579119535338-π/2
    0.691582390706761-1.57079632675     		φ = -0.87921394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37477068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.472778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87921394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.375248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57718 KachelY 86833 -0.37477068 -0.87921394 -21.472778 -50.375248
    Oben rechts KachelX + 1 57719 KachelY 86833 -0.37472274 -0.87921394 -21.470031 -50.375248
    Unten links KachelX 57718 KachelY + 1 86834 -0.37477068 -0.87924451 -21.472778 -50.377000
    Unten rechts KachelX + 1 57719 KachelY + 1 86834 -0.37472274 -0.87924451 -21.470031 -50.377000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87921394--0.87924451) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dl = 194.761470000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87921394--0.87924451) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dr = 194.761470000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37477068--0.37472274) × cos(-0.87921394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637756794294583 × 6371000     		do = 194.787340837549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37477068--0.37472274) × cos(-0.87924451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637733247826986 × 6371000     		du = 194.780149140258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87921394)-sin(-0.87924451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637756794294583-0.637733247826986)×R²
    abs(-0.37472274--0.37477068)×2.35464675973907e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35464675973907e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35464675973907e-05×40589641000000     		ar = 37936.3685091469m²