Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57717 / 81526
↖ ↑ ↗
← S 40.157885°
W 21.475525°		 ← 233.43 m → S 40.157885°
W 21.472778°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
S 40.159984°
W 21.475525°		 ← 233.42 m →
54 474 m²		 S 40.159984°
W 21.472778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440349578857422 y=0.621997833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440349578857422 × 217)
    floor (0.440349578857422 × 131072)
    floor (57717.5)     		tx = 57717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621997833251953 × 217)
    floor (0.621997833251953 × 131072)
    floor (81526.5)     		ty = 81526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57717 / 81526 ti = "17/57717/81526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57717/81526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57717 ÷ 217
    57717 ÷ 131072     		x = 0.440345764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81526 ÷ 217
    81526 ÷ 131072     		y = 0.621994018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440345764160156 × 2 - 1) × π
    -0.119308471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37481862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621994018554688 × 2 - 1) × π
    -0.243988037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.766511024924698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37481862} λ = -0.37481862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766511024924698))-π/2
    2×atan(0.4646313307632)-π/2
    2×0.434954504284844-π/2
    0.869909008569687-1.57079632675     		φ = -0.70088732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37481862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.475525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70088732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.157885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57717 KachelY 81526 -0.37481862 -0.70088732 -21.475525 -40.157885
    Oben rechts KachelX + 1 57718 KachelY 81526 -0.37477068 -0.70088732 -21.472778 -40.157885
    Unten links KachelX 57717 KachelY + 1 81527 -0.37481862 -0.70092395 -21.475525 -40.159984
    Unten rechts KachelX + 1 57718 KachelY + 1 81527 -0.37477068 -0.70092395 -21.472778 -40.159984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70088732--0.70092395) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dl = 233.369729999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70088732--0.70092395) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dr = 233.369729999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37481862--0.37477068) × cos(-0.70088732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764270259027086 × 6371000     		do = 233.427809423186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37481862--0.37477068) × cos(-0.70092395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76424663597046 × 6371000     		du = 233.420594333635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70088732)-sin(-0.70092395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764270259027086-0.76424663597046)×R²
    abs(-0.37477068--0.37481862)×2.36230566250661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36230566250661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36230566250661e-05×40589641000000     		ar = 54474.1429739952m²