Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57717 / 44405
↖ ↑ ↗
← N 50.083582°
W 21.475525°		 ← 195.98 m → N 50.083582°
W 21.472778°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
N 50.081820°
W 21.475525°		 ← 195.99 m →
38 408 m²		 N 50.081820°
W 21.472778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440349578857422 y=0.338787078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440349578857422 × 217)
    floor (0.440349578857422 × 131072)
    floor (57717.5)     		tx = 57717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338787078857422 × 217)
    floor (0.338787078857422 × 131072)
    floor (44405.5)     		ty = 44405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57717 / 44405 ti = "17/57717/44405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57717/44405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57717 ÷ 217
    57717 ÷ 131072     		x = 0.440345764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44405 ÷ 217
    44405 ÷ 131072     		y = 0.338783264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440345764160156 × 2 - 1) × π
    -0.119308471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37481862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338783264160156 × 2 - 1) × π
    0.322433471679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01295462587141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37481862} λ = -0.37481862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01295462587141))-π/2
    2×atan(2.75372523491335)-π/2
    2×1.22245986721543-π/2
    2.44491973443086-1.57079632675     		φ = 0.87412341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37481862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.475525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87412341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.083582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57717 KachelY 44405 -0.37481862 0.87412341 -21.475525 50.083582
    Oben rechts KachelX + 1 57718 KachelY 44405 -0.37477068 0.87412341 -21.472778 50.083582
    Unten links KachelX 57717 KachelY + 1 44406 -0.37481862 0.87409265 -21.475525 50.081820
    Unten rechts KachelX + 1 57718 KachelY + 1 44406 -0.37477068 0.87409265 -21.472778 50.081820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87412341-0.87409265) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87412341-0.87409265) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37481862--0.37477068) × cos(0.87412341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641669432761592 × 6371000     		do = 195.982361336461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37481862--0.37477068) × cos(0.87409265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641693024803301 × 6371000     		du = 195.989566953258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87412341)-sin(0.87409265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641669432761592-0.641693024803301)×R²
    abs(-0.37477068--0.37481862)×2.35920417092084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35920417092084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35920417092084e-05×40589641000000     		ar = 38407.7535289336m²