Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57716 / 85164
↖ ↑ ↗
← S 47.361153°
W 21.478272°		 ← 206.89 m → S 47.361153°
W 21.475525°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
S 47.363014°
W 21.478272°		 ← 206.88 m →
42 797 m²		 S 47.363014°
W 21.475525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440341949462891 y=0.649753570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440341949462891 × 217)
    floor (0.440341949462891 × 131072)
    floor (57716.5)     		tx = 57716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649753570556641 × 217)
    floor (0.649753570556641 × 131072)
    floor (85164.5)     		ty = 85164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57716 / 85164 ti = "17/57716/85164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57716/85164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57716 ÷ 217
    57716 ÷ 131072     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85164 ÷ 217
    85164 ÷ 131072     		y = 0.649749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.29949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.940905465742462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940905465742462))-π/2
    2×atan(0.390274295318904)-π/2
    2×0.372094134648101-π/2
    0.744188269296202-1.57079632675     		φ = -0.82660806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82660806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.361153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57716 KachelY 85164 -0.37486656 -0.82660806 -21.478272 -47.361153
    Oben rechts KachelX + 1 57717 KachelY 85164 -0.37481862 -0.82660806 -21.475525 -47.361153
    Unten links KachelX 57716 KachelY + 1 85165 -0.37486656 -0.82664053 -21.478272 -47.363014
    Unten rechts KachelX + 1 57717 KachelY + 1 85165 -0.37481862 -0.82664053 -21.475525 -47.363014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82660806--0.82664053) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dl = 206.866370000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82660806--0.82664053) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dr = 206.866370000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37481862) × cos(-0.82660806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67737489190075 × 6371000     		do = 206.88772761631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37481862) × cos(-0.82664053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677351005378063 × 6371000     		du = 206.880432057443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82660806)-sin(-0.82664053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67737489190075-0.677351005378063)×R²
    abs(-0.37481862--0.37486656)×2.38865226865892e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38865226865892e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38865226865892e-05×40589641000000     		ar = 42797.3586106911m²