Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57715 / 84655
↖ ↑ ↗
← S 46.405670°
W 21.481018°		 ← 210.56 m → S 46.405670°
W 21.478272°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 46.407564°
W 21.481018°		 ← 210.55 m →
44 349 m²		 S 46.407564°
W 21.478272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440334320068359 y=0.645870208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440334320068359 × 217)
    floor (0.440334320068359 × 131072)
    floor (57715.5)     		tx = 57715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645870208740234 × 217)
    floor (0.645870208740234 × 131072)
    floor (84655.5)     		ty = 84655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57715 / 84655 ti = "17/57715/84655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57715/84655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57715 ÷ 217
    57715 ÷ 131072     		x = 0.440330505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84655 ÷ 217
    84655 ÷ 131072     		y = 0.645866394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440330505371094 × 2 - 1) × π
    -0.119338989257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37491449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645866394042969 × 2 - 1) × π
    -0.291732788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.916505583835854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37491449} λ = -0.37491449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916505583835854))-π/2
    2×atan(0.399914068446933)-π/2
    2×0.380432295992302-π/2
    0.760864591984605-1.57079632675     		φ = -0.80993173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37491449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.481018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80993173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.405670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57715 KachelY 84655 -0.37491449 -0.80993173 -21.481018 -46.405670
    Oben rechts KachelX + 1 57716 KachelY 84655 -0.37486656 -0.80993173 -21.478272 -46.405670
    Unten links KachelX 57715 KachelY + 1 84656 -0.37491449 -0.80996479 -21.481018 -46.407564
    Unten rechts KachelX + 1 57716 KachelY + 1 84656 -0.37486656 -0.80996479 -21.478272 -46.407564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80993173--0.80996479) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80993173--0.80996479) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37491449--0.37486656) × cos(-0.80993173) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689547878430298 × 6371000     		do = 210.561739939554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37491449--0.37486656) × cos(-0.80996479) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689523934675751 × 6371000     		du = 210.55442842606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80993173)-sin(-0.80996479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689547878430298-0.689523934675751)×R²
    abs(-0.37486656--0.37491449)×2.39437545476173e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39437545476173e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39437545476173e-05×40589641000000     		ar = 44348.851230268m²