Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57714 / 84886
↖ ↑ ↗
← S 46.841407°
W 21.483765°		 ← 208.92 m → S 46.841407°
W 21.481018°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
S 46.843286°
W 21.483765°		 ← 208.91 m →
43 643 m²		 S 46.843286°
W 21.481018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440326690673828 y=0.647632598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440326690673828 × 217)
    floor (0.440326690673828 × 131072)
    floor (57714.5)     		tx = 57714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647632598876953 × 217)
    floor (0.647632598876953 × 131072)
    floor (84886.5)     		ty = 84886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57714 / 84886 ti = "17/57714/84886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57714/84886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57714 ÷ 217
    57714 ÷ 131072     		x = 0.440322875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84886 ÷ 217
    84886 ÷ 131072     		y = 0.647628784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440322875976562 × 2 - 1) × π
    -0.119354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37496243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647628784179688 × 2 - 1) × π
    -0.295257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.927579007648087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37496243} λ = -0.37496243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927579007648087))-π/2
    2×atan(0.395510079100396)-π/2
    2×0.376629773089821-π/2
    0.753259546179642-1.57079632675     		φ = -0.81753678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37496243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.483765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81753678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.841407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57714 KachelY 84886 -0.37496243 -0.81753678 -21.483765 -46.841407
    Oben rechts KachelX + 1 57715 KachelY 84886 -0.37491449 -0.81753678 -21.481018 -46.841407
    Unten links KachelX 57714 KachelY + 1 84887 -0.37496243 -0.81756957 -21.483765 -46.843286
    Unten rechts KachelX + 1 57715 KachelY + 1 84887 -0.37491449 -0.81756957 -21.481018 -46.843286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81753678--0.81756957) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dl = 208.90509000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81753678--0.81756957) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dr = 208.90509000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37496243--0.37491449) × cos(-0.81753678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684020108825664 × 6371000     		do = 208.917347913064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37496243--0.37491449) × cos(-0.81756957) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683996189361177 × 6371000     		du = 208.910042292923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81753678)-sin(-0.81756957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684020108825664-0.683996189361177)×R²
    abs(-0.37491449--0.37496243)×2.39194644869878e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39194644869878e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39194644869878e-05×40589641000000     		ar = 43643.1342816712m²