Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57711 / 38809
↖ ↑ ↗
← N 58.959923°
W 21.492004°		 ← 157.49 m → N 58.959923°
W 21.489258°		 →
↑
157.49 m
↓
↑
157.49 m
↓
N 58.958507°
W 21.492004°		 ← 157.50 m →
24 804 m²		 N 58.958507°
W 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440303802490234 y=0.296092987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440303802490234 × 217)
    floor (0.440303802490234 × 131072)
    floor (57711.5)     		tx = 57711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296092987060547 × 217)
    floor (0.296092987060547 × 131072)
    floor (38809.5)     		ty = 38809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57711 / 38809 ti = "17/57711/38809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57711/38809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57711 ÷ 217
    57711 ÷ 131072     		x = 0.440299987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38809 ÷ 217
    38809 ÷ 131072     		y = 0.296089172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440299987792969 × 2 - 1) × π
    -0.119400024414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37510624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296089172363281 × 2 - 1) × π
    0.407821655273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28120951614524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37510624} λ = -0.37510624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28120951614524))-π/2
    2×atan(3.60099255126179)-π/2
    2×1.29992055792302-π/2
    2.59984111584604-1.57079632675     		φ = 1.02904479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37510624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.492004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02904479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.959923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57711 KachelY 38809 -0.37510624 1.02904479 -21.492004 58.959923
    Oben rechts KachelX + 1 57712 KachelY 38809 -0.37505830 1.02904479 -21.489258 58.959923
    Unten links KachelX 57711 KachelY + 1 38810 -0.37510624 1.02902007 -21.492004 58.958507
    Unten rechts KachelX + 1 57712 KachelY + 1 38810 -0.37505830 1.02902007 -21.489258 58.958507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02904479-1.02902007) × R
    2.47199999998671e-05 × 6371000     		dl = 157.491119999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02904479-1.02902007) × R
    2.47199999998671e-05 × 6371000     		dr = 157.491119999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37510624--0.37505830) × cos(1.02904479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.515637510545818 × 6371000     		do = 157.488968230111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37510624--0.37505830) × cos(1.02902007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.515658690653305 × 6371000     		du = 157.495437180113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02904479)-sin(1.02902007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515637510545818-0.515658690653305)×R²
    abs(-0.37505830--0.37510624)×2.11801074866402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11801074866402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11801074866402e-05×40589641000000     		ar = 24803.6233963225m²