Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57709 / 85092
↖ ↑ ↗
← S 47.227029°
W 21.497497°		 ← 207.37 m → S 47.227029°
W 21.494751°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 47.228894°
W 21.497497°		 ← 207.36 m →
43 003 m²		 S 47.228894°
W 21.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440288543701172 y=0.649204254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440288543701172 × 217)
    floor (0.440288543701172 × 131072)
    floor (57709.5)     		tx = 57709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649204254150391 × 217)
    floor (0.649204254150391 × 131072)
    floor (85092.5)     		ty = 85092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57709 / 85092 ti = "17/57709/85092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57709/85092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57709 ÷ 217
    57709 ÷ 131072     		x = 0.440284729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85092 ÷ 217
    85092 ÷ 131072     		y = 0.649200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440284729003906 × 2 - 1) × π
    -0.119430541992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37520211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.29840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937454008969818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37520211} λ = -0.37520211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937454008969818))-π/2
    2×atan(0.391623637437158)-π/2
    2×0.37326458393335-π/2
    0.7465291678667-1.57079632675     		φ = -0.82426716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37520211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.497497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82426716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.227029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57709 KachelY 85092 -0.37520211 -0.82426716 -21.497497 -47.227029
    Oben rechts KachelX + 1 57710 KachelY 85092 -0.37515418 -0.82426716 -21.494751 -47.227029
    Unten links KachelX 57709 KachelY + 1 85093 -0.37520211 -0.82429971 -21.497497 -47.228894
    Unten rechts KachelX + 1 57710 KachelY + 1 85093 -0.37515418 -0.82429971 -21.494751 -47.228894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82426716--0.82429971) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82426716--0.82429971) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37520211--0.37515418) × cos(-0.82426716) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		do = 207.36985505031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37520211--0.37515418) × cos(-0.82429971) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.679071195664 × 6371000     		du = 207.362558822373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82426716)-sin(-0.82429971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679095089361382-0.679071195664)×R²
    abs(-0.37515418--0.37520211)×2.38936973819825e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38936973819825e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38936973819825e-05×40589641000000     		ar = 43002.784901818m²