Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57708 / 44404
↖ ↑ ↗
← N 50.085345°
W 21.500244°		 ← 195.98 m → N 50.085345°
W 21.497497°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
N 50.083582°
W 21.500244°		 ← 195.98 m →
38 406 m²		 N 50.083582°
W 21.497497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440280914306641 y=0.338779449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440280914306641 × 217)
    floor (0.440280914306641 × 131072)
    floor (57708.5)     		tx = 57708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338779449462891 × 217)
    floor (0.338779449462891 × 131072)
    floor (44404.5)     		ty = 44404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57708 / 44404 ti = "17/57708/44404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57708/44404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57708 ÷ 217
    57708 ÷ 131072     		x = 0.440277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44404 ÷ 217
    44404 ÷ 131072     		y = 0.338775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.11944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37525005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338775634765625 × 2 - 1) × π
    0.32244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01300256277103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37525005} λ = -0.37525005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01300256277103))-π/2
    2×atan(2.75385724312752)-π/2
    2×1.22247524675433-π/2
    2.44495049350867-1.57079632675     		φ = 0.87415417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37525005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87415417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.085345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57708 KachelY 44404 -0.37525005 0.87415417 -21.500244 50.085345
    Oben rechts KachelX + 1 57709 KachelY 44404 -0.37520211 0.87415417 -21.497497 50.085345
    Unten links KachelX 57708 KachelY + 1 44405 -0.37525005 0.87412341 -21.500244 50.083582
    Unten rechts KachelX + 1 57709 KachelY + 1 44405 -0.37520211 0.87412341 -21.497497 50.083582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87415417-0.87412341) × R
    3.07599999999075e-05 × 6371000     		dl = 195.971959999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87415417-0.87412341) × R
    3.07599999999075e-05 × 6371000     		dr = 195.971959999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37525005--0.37520211) × cos(0.87415417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64164584011275 × 6371000     		do = 195.975155534457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37525005--0.37520211) × cos(0.87412341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641669432761592 × 6371000     		du = 195.982361336688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87415417)-sin(0.87412341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64164584011275-0.641669432761592)×R²
    abs(-0.37520211--0.37525005)×2.35926488422189e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35926488422189e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35926488422189e-05×40589641000000     		ar = 38406.3414120411m²