Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57708 / 38218
↖ ↑ ↗
← N 59.786816°
W 21.500244°		 ← 153.70 m → N 59.786816°
W 21.497497°		 →
↑
153.73 m
↓
↑
153.73 m
↓
N 59.785434°
W 21.500244°		 ← 153.70 m →
23 629 m²		 N 59.785434°
W 21.497497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440280914306641 y=0.291584014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440280914306641 × 217)
    floor (0.440280914306641 × 131072)
    floor (57708.5)     		tx = 57708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291584014892578 × 217)
    floor (0.291584014892578 × 131072)
    floor (38218.5)     		ty = 38218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57708 / 38218 ti = "17/57708/38218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57708/38218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57708 ÷ 217
    57708 ÷ 131072     		x = 0.440277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38218 ÷ 217
    38218 ÷ 131072     		y = 0.291580200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.11944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37525005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291580200195312 × 2 - 1) × π
    0.416839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30954022382069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37525005} λ = -0.37525005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30954022382069))-π/2
    2×atan(3.70447009349262)-π/2
    2×1.30713655593808-π/2
    2.61427311187616-1.57079632675     		φ = 1.04347679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37525005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04347679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.786816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57708 KachelY 38218 -0.37525005 1.04347679 -21.500244 59.786816
    Oben rechts KachelX + 1 57709 KachelY 38218 -0.37520211 1.04347679 -21.497497 59.786816
    Unten links KachelX 57708 KachelY + 1 38219 -0.37525005 1.04345266 -21.500244 59.785434
    Unten rechts KachelX + 1 57709 KachelY + 1 38219 -0.37520211 1.04345266 -21.497497 59.785434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04347679-1.04345266) × R
    2.41299999999001e-05 × 6371000     		dl = 153.732229999363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04347679-1.04345266) × R
    2.41299999999001e-05 × 6371000     		dr = 153.732229999363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37525005--0.37520211) × cos(1.04347679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.503218805270803 × 6371000     		do = 153.695975981828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37525005--0.37520211) × cos(1.04345266) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.503239657281761 × 6371000     		du = 153.702344722706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04347679)-sin(1.04345266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503218805270803-0.503239657281761)×R²
    abs(-0.37520211--0.37525005)×2.0852010958694e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0852010958694e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0852010958694e-05×40589641000000     		ar = 23628.514671297m²