Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57707 / 86839
↖ ↑ ↗
← S 50.385757°
W 21.502991°		 ← 194.74 m → S 50.385757°
W 21.500244°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
S 50.387508°
W 21.502991°		 ← 194.74 m →
37 916 m²		 S 50.387508°
W 21.500244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440273284912109 y=0.662532806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440273284912109 × 217)
    floor (0.440273284912109 × 131072)
    floor (57707.5)     		tx = 57707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662532806396484 × 217)
    floor (0.662532806396484 × 131072)
    floor (86839.5)     		ty = 86839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57707 / 86839 ti = "17/57707/86839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57707/86839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57707 ÷ 217
    57707 ÷ 131072     		x = 0.440269470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86839 ÷ 217
    86839 ÷ 131072     		y = 0.662528991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440269470214844 × 2 - 1) × π
    -0.119461059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37529799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662528991699219 × 2 - 1) × π
    -0.325057983398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.02119977260606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37529799} λ = -0.37529799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02119977260606))-π/2
    2×atan(0.360162567668185)-π/2
    2×0.345699489261686-π/2
    0.691398978523373-1.57079632675     		φ = -0.87939735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37529799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.502991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87939735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.385757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57707 KachelY 86839 -0.37529799 -0.87939735 -21.502991 -50.385757
    Oben rechts KachelX + 1 57708 KachelY 86839 -0.37525005 -0.87939735 -21.500244 -50.385757
    Unten links KachelX 57707 KachelY + 1 86840 -0.37529799 -0.87942791 -21.502991 -50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 57708 KachelY + 1 86840 -0.37525005 -0.87942791 -21.500244 -50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87939735--0.87942791) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87939735--0.87942791) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37529799--0.37525005) × cos(-0.87939735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637615514253323 × 6371000     		do = 194.744190276399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37529799--0.37525005) × cos(-0.87942791) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 194.736999840029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87939735)-sin(-0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637615514253323-0.637591971914127)×R²
    abs(-0.37525005--0.37529799)×2.3542339195437e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3542339195437e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3542339195437e-05×40589641000000     		ar = 37915.5576416997m²