Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57707 / 38806
↖ ↑ ↗
← N 58.964172°
W 21.502991°		 ← 157.47 m → N 58.964172°
W 21.500244°		 →
↑
157.49 m
↓
↑
157.49 m
↓
N 58.962756°
W 21.502991°		 ← 157.48 m →
24 801 m²		 N 58.962756°
W 21.500244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440273284912109 y=0.296070098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440273284912109 × 217)
    floor (0.440273284912109 × 131072)
    floor (57707.5)     		tx = 57707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296070098876953 × 217)
    floor (0.296070098876953 × 131072)
    floor (38806.5)     		ty = 38806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57707 / 38806 ti = "17/57707/38806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57707/38806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57707 ÷ 217
    57707 ÷ 131072     		x = 0.440269470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38806 ÷ 217
    38806 ÷ 131072     		y = 0.296066284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440269470214844 × 2 - 1) × π
    -0.119461059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37529799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296066284179688 × 2 - 1) × π
    0.407867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2813533268441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37529799} λ = -0.37529799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2813533268441))-π/2
    2×atan(3.60151044975596)-π/2
    2×1.29995763273423-π/2
    2.59991526546846-1.57079632675     		φ = 1.02911894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37529799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.502991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02911894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.964172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57707 KachelY 38806 -0.37529799 1.02911894 -21.502991 58.964172
    Oben rechts KachelX + 1 57708 KachelY 38806 -0.37525005 1.02911894 -21.500244 58.964172
    Unten links KachelX 57707 KachelY + 1 38807 -0.37529799 1.02909422 -21.502991 58.962756
    Unten rechts KachelX + 1 57708 KachelY + 1 38807 -0.37525005 1.02909422 -21.500244 58.962756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02911894-1.02909422) × R
    2.47200000000891e-05 × 6371000     		dl = 157.491120000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02911894-1.02909422) × R
    2.47200000000891e-05 × 6371000     		dr = 157.491120000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37529799--0.37525005) × cos(1.02911894) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515573976901291 × 6371000     		do = 157.469563419899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37529799--0.37525005) × cos(1.02909422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515595157953896 × 6371000     		du = 157.476032658565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02911894)-sin(1.02909422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515573976901291-0.515595157953896)×R²
    abs(-0.37525005--0.37529799)×2.11810526054013e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11810526054013e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11810526054013e-05×40589641000000     		ar = 24800.5673339363m²