Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57705 / 38807
↖ ↑ ↗
← N 58.962756°
W 21.508484°		 ← 157.48 m → N 58.962756°
W 21.505737°		 →
↑
157.43 m
↓
↑
157.43 m
↓
N 58.961340°
W 21.508484°		 ← 157.48 m →
24 792 m²		 N 58.961340°
W 21.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440258026123047 y=0.296077728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440258026123047 × 217)
    floor (0.440258026123047 × 131072)
    floor (57705.5)     		tx = 57705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296077728271484 × 217)
    floor (0.296077728271484 × 131072)
    floor (38807.5)     		ty = 38807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57705 / 38807 ti = "17/57705/38807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57705/38807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57705 ÷ 217
    57705 ÷ 131072     		x = 0.440254211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38807 ÷ 217
    38807 ÷ 131072     		y = 0.296073913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440254211425781 × 2 - 1) × π
    -0.119491577148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37539386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296073913574219 × 2 - 1) × π
    0.407852172851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.28130538994448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37539386} λ = -0.37539386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28130538994448))-π/2
    2×atan(3.60133780864902)-π/2
    2×1.29994527497142-π/2
    2.59989054994284-1.57079632675     		φ = 1.02909422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37539386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.508484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02909422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.962756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57705 KachelY 38807 -0.37539386 1.02909422 -21.508484 58.962756
    Oben rechts KachelX + 1 57706 KachelY 38807 -0.37534592 1.02909422 -21.505737 58.962756
    Unten links KachelX 57705 KachelY + 1 38808 -0.37539386 1.02906951 -21.508484 58.961340
    Unten rechts KachelX + 1 57706 KachelY + 1 38808 -0.37534592 1.02906951 -21.505737 58.961340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02909422-1.02906951) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dl = 157.42740999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02909422-1.02906951) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dr = 157.42740999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37539386--0.37534592) × cos(1.02909422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515595157953896 × 6371000     		do = 157.476032658565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37539386--0.37534592) × cos(1.02906951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515616330123236 × 6371000     		du = 157.482499184053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02909422)-sin(1.02906951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515595157953896-0.515616330123236)×R²
    abs(-0.37534592--0.37539386)×2.11721693403888e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11721693403888e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11721693403888e-05×40589641000000     		ar = 24791.5529640302m²