Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57704 / 38232
↖ ↑ ↗
← N 59.767460°
W 21.511231°		 ← 153.79 m → N 59.767460°
W 21.508484°		 →
↑
153.80 m
↓
↑
153.80 m
↓
N 59.766077°
W 21.511231°		 ← 153.79 m →
23 652 m²		 N 59.766077°
W 21.508484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440250396728516 y=0.291690826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440250396728516 × 217)
    floor (0.440250396728516 × 131072)
    floor (57704.5)     		tx = 57704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291690826416016 × 217)
    floor (0.291690826416016 × 131072)
    floor (38232.5)     		ty = 38232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57704 / 38232 ti = "17/57704/38232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57704/38232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57704 ÷ 217
    57704 ÷ 131072     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38232 ÷ 217
    38232 ÷ 131072     		y = 0.29168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29168701171875 × 2 - 1) × π
    0.4166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30886910722601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30886910722601))-π/2
    2×atan(3.70198479619379)-π/2
    2×1.30696764771983-π/2
    2.61393529543966-1.57079632675     		φ = 1.04313897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04313897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.767460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57704 KachelY 38232 -0.37544180 1.04313897 -21.511231 59.767460
    Oben rechts KachelX + 1 57705 KachelY 38232 -0.37539386 1.04313897 -21.508484 59.767460
    Unten links KachelX 57704 KachelY + 1 38233 -0.37544180 1.04311483 -21.511231 59.766077
    Unten rechts KachelX + 1 57705 KachelY + 1 38233 -0.37539386 1.04311483 -21.508484 59.766077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04313897-1.04311483) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dl = 153.795940000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04313897-1.04311483) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dr = 153.795940000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37539386) × cos(1.04313897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.503510706755464 × 6371000     		do = 153.78513020861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37539386) × cos(1.04311483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50353156330288 × 6371000     		du = 153.791500335038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04313897)-sin(1.04311483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503510706755464-0.50353156330288)×R²
    abs(-0.37539386--0.37544180)×2.08565474157929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08565474157929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08565474157929e-05×40589641000000     		ar = 23652.0185094884m²