Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57704 / 38231
↖ ↑ ↗
← N 59.768843°
W 21.511231°		 ← 153.78 m → N 59.768843°
W 21.508484°		 →
↑
153.73 m
↓
↑
153.73 m
↓
N 59.767460°
W 21.511231°		 ← 153.79 m →
23 641 m²		 N 59.767460°
W 21.508484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440250396728516 y=0.291683197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440250396728516 × 217)
    floor (0.440250396728516 × 131072)
    floor (57704.5)     		tx = 57704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291683197021484 × 217)
    floor (0.291683197021484 × 131072)
    floor (38231.5)     		ty = 38231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57704 / 38231 ti = "17/57704/38231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57704/38231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57704 ÷ 217
    57704 ÷ 131072     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38231 ÷ 217
    38231 ÷ 131072     		y = 0.291679382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291679382324219 × 2 - 1) × π
    0.416641235351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.30891704412563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30891704412563))-π/2
    2×atan(3.70216226212091)-π/2
    2×1.30697971584105-π/2
    2.61395943168209-1.57079632675     		φ = 1.04316310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04316310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.768843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57704 KachelY 38231 -0.37544180 1.04316310 -21.511231 59.768843
    Oben rechts KachelX + 1 57705 KachelY 38231 -0.37539386 1.04316310 -21.508484 59.768843
    Unten links KachelX 57704 KachelY + 1 38232 -0.37544180 1.04313897 -21.511231 59.767460
    Unten rechts KachelX + 1 57705 KachelY + 1 38232 -0.37539386 1.04313897 -21.508484 59.767460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04316310-1.04313897) × R
    2.41299999999001e-05 × 6371000     		dl = 153.732229999363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04316310-1.04313897) × R
    2.41299999999001e-05 × 6371000     		dr = 153.732229999363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37539386) × cos(1.04316310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.503489858554644 × 6371000     		do = 153.778762631447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37539386) × cos(1.04313897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.503510706755464 × 6371000     		du = 153.78513020861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04316310)-sin(1.04313897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503489858554644-0.503510706755464)×R²
    abs(-0.37539386--0.37544180)×2.0848200819934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0848200819934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0848200819934e-05×40589641000000     		ar = 23641.2415577967m²