Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57703 / 84576
↖ ↑ ↗
← S 46.255847°
W 21.513977°		 ← 211.14 m → S 46.255847°
W 21.511231°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
S 46.257746°
W 21.513977°		 ← 211.13 m →
44 578 m²		 S 46.257746°
W 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440242767333984 y=0.645267486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440242767333984 × 217)
    floor (0.440242767333984 × 131072)
    floor (57703.5)     		tx = 57703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645267486572266 × 217)
    floor (0.645267486572266 × 131072)
    floor (84576.5)     		ty = 84576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57703 / 84576 ti = "17/57703/84576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57703/84576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57703 ÷ 217
    57703 ÷ 131072     		x = 0.440238952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84576 ÷ 217
    84576 ÷ 131072     		y = 0.645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440238952636719 × 2 - 1) × π
    -0.119522094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37548973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.29052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912718568765869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37548973} λ = -0.37548973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912718568765869))-π/2
    2×atan(0.401431420354688)-π/2
    2×0.381739750766154-π/2
    0.763479501532309-1.57079632675     		φ = -0.80731683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37548973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.513977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80731683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.255847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57703 KachelY 84576 -0.37548973 -0.80731683 -21.513977 -46.255847
    Oben rechts KachelX + 1 57704 KachelY 84576 -0.37544180 -0.80731683 -21.511231 -46.255847
    Unten links KachelX 57703 KachelY + 1 84577 -0.37548973 -0.80734997 -21.513977 -46.257746
    Unten rechts KachelX + 1 57704 KachelY + 1 84577 -0.37544180 -0.80734997 -21.511231 -46.257746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80731683--0.80734997) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80731683--0.80734997) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37548973--0.37544180) × cos(-0.80731683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691439334251083 × 6371000     		do = 211.139318728889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37548973--0.37544180) × cos(-0.80734997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691415392391144 × 6371000     		du = 211.132007793936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80731683)-sin(-0.80734997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691439334251083-0.691415392391144)×R²
    abs(-0.37544180--0.37548973)×2.39418599389252e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39418599389252e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39418599389252e-05×40589641000000     		ar = 44578.1155985175m²