Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57701 / 44573
↖ ↑ ↗
← N 49.786584°
W 21.519470°		 ← 197.19 m → N 49.786584°
W 21.516724°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.784811°
W 21.519470°		 ← 197.20 m →
38 884 m²		 N 49.784811°
W 21.516724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440227508544922 y=0.340068817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440227508544922 × 217)
    floor (0.440227508544922 × 131072)
    floor (57701.5)     		tx = 57701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340068817138672 × 217)
    floor (0.340068817138672 × 131072)
    floor (44573.5)     		ty = 44573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57701 / 44573 ti = "17/57701/44573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57701/44573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57701 ÷ 217
    57701 ÷ 131072     		x = 0.440223693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44573 ÷ 217
    44573 ÷ 131072     		y = 0.340065002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440223693847656 × 2 - 1) × π
    -0.119552612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37558561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340065002441406 × 2 - 1) × π
    0.319869995117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00490122673524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37558561} λ = -0.37558561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00490122673524))-π/2
    2×atan(2.73163744675158)-π/2
    2×1.21986807246638-π/2
    2.43973614493276-1.57079632675     		φ = 0.86893982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37558561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.519470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86893982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.786584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57701 KachelY 44573 -0.37558561 0.86893982 -21.519470 49.786584
    Oben rechts KachelX + 1 57702 KachelY 44573 -0.37553767 0.86893982 -21.516724 49.786584
    Unten links KachelX 57701 KachelY + 1 44574 -0.37558561 0.86890887 -21.519470 49.784811
    Unten rechts KachelX + 1 57702 KachelY + 1 44574 -0.37553767 0.86890887 -21.516724 49.784811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86893982-0.86890887) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86893982-0.86890887) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37558561--0.37553767) × cos(0.86893982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645636510954095 × 6371000     		do = 197.194009129271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37558561--0.37553767) × cos(0.86890887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645660145453756 × 6371000     		du = 197.20122771382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86893982)-sin(0.86890887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645636510954095-0.645660145453756)×R²
    abs(-0.37553767--0.37558561)×2.36344996613624e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36344996613624e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36344996613624e-05×40589641000000     		ar = 38883.909537488m²