Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57700 / 81054
↖ ↑ ↗
← S 39.159882°
W 21.522217°		 ← 236.82 m → S 39.159882°
W 21.519470°		 →
↑
236.81 m
↓
↑
236.81 m
↓
S 39.162011°
W 21.522217°		 ← 236.82 m →
56 081 m²		 S 39.162011°
W 21.519470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440219879150391 y=0.618396759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440219879150391 × 217)
    floor (0.440219879150391 × 131072)
    floor (57700.5)     		tx = 57700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618396759033203 × 217)
    floor (0.618396759033203 × 131072)
    floor (81054.5)     		ty = 81054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57700 / 81054 ti = "17/57700/81054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57700/81054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57700 ÷ 217
    57700 ÷ 131072     		x = 0.440216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81054 ÷ 217
    81054 ÷ 131072     		y = 0.618392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440216064453125 × 2 - 1) × π
    -0.11956787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37563355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618392944335938 × 2 - 1) × π
    -0.236785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.743884808304031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37563355} λ = -0.37563355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743884808304031))-π/2
    2×atan(0.475264015001017)-π/2
    2×0.443663726922894-π/2
    0.887327453845788-1.57079632675     		φ = -0.68346887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37563355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.522217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68346887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.159882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57700 KachelY 81054 -0.37563355 -0.68346887 -21.522217 -39.159882
    Oben rechts KachelX + 1 57701 KachelY 81054 -0.37558561 -0.68346887 -21.519470 -39.159882
    Unten links KachelX 57700 KachelY + 1 81055 -0.37563355 -0.68350604 -21.522217 -39.162011
    Unten rechts KachelX + 1 57701 KachelY + 1 81055 -0.37558561 -0.68350604 -21.519470 -39.162011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68346887--0.68350604) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dl = 236.810070000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68346887--0.68350604) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dr = 236.810070000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37563355--0.37558561) × cos(-0.68346887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775386843583579 × 6371000     		do = 236.823100487624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37563355--0.37558561) × cos(-0.68350604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77536337069347 × 6371000     		du = 236.815931262792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68346887)-sin(-0.68350604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775386843583579-0.77536337069347)×R²
    abs(-0.37558561--0.37563355)×2.34728901091774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34728901091774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34728901091774e-05×40589641000000     		ar = 56081.2461382891m²