Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 577 / 421
↖ ↑ ↗
← N 30.448674°
E 22.851562°		 ← 33.701 km → N 30.448674°
E 23.203125°		 →
↑
33.753 km
↓
↑
33.753 km
↓
N 30.145127°
E 22.851562°		 ← 33.805 km →
1 139.26 km²		 N 30.145127°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56396484375 y=0.41162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56396484375 × 210)
    floor (0.56396484375 × 1024)
    floor (577.5)     		tx = 577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41162109375 × 210)
    floor (0.41162109375 × 1024)
    floor (421.5)     		ty = 421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 577 / 421 ti = "10/577/421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/577/421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 577 ÷ 210
    577 ÷ 1024     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 421 ÷ 210
    421 ÷ 1024     		y = 0.4111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558369006774414))-π/2
    2×atan(1.74781949255849)-π/2
    2×1.05111296767502-π/2
    2.10222593535004-1.57079632675     		φ = 0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 577 KachelY 421 0.39883500 0.53142961 22.851562 30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 578 KachelY 421 0.40497093 0.53142961 23.203125 30.448674
    Unten links KachelX 577 KachelY + 1 422 0.39883500 0.52613172 22.851562 30.145127
    Unten rechts KachelX + 1 578 KachelY + 1 422 0.40497093 0.52613172 23.203125 30.145127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53142961-0.52613172) × R
    0.00529789000000003 × 6371000     		dl = 33752.8571900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53142961-0.52613172) × R
    0.00529789000000003 × 6371000     		dr = 33752.8571900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.40497093) × cos(0.53142961) × R
    0.00613593000000001 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 33700.5757945264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.40497093) × cos(0.52613172) × R
    0.00613593000000001 × 0.864756154813241 × 6371000     		du = 33805.0562774635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53142961)-sin(0.52613172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.864756154813241)×R²
    abs(0.40497093-0.39883500)×0.0026726812680381×R²
    0.00613593000000001×0.0026726812680381×6371000²
    0.00613593000000001×0.0026726812680381×40589641000000     		ar = 1139256644.11149m²