Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 577 / 1075
↖ ↑ ↗
← S  8.928487°
W 78.574219°		 ← 19.309 km → S  8.928487°
W 78.398437°		 →
↑
19.305 km
↓
↑
19.305 km
↓
S  9.102097°
W 78.574219°		 ← 19.300 km →
372.664 km²		 S  9.102097°
W 78.398437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281982421875 y=0.525146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281982421875 × 211)
    floor (0.281982421875 × 2048)
    floor (577.5)     		tx = 577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525146484375 × 211)
    floor (0.525146484375 × 2048)
    floor (1075.5)     		ty = 1075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 577 / 1075 ti = "11/577/1075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/577/1075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 577 ÷ 211
    577 ÷ 2048     		x = 0.28173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1075 ÷ 211
    1075 ÷ 2048     		y = 0.52490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37137882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37137882} λ = -1.37137882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156466040359863))-π/2
    2×atan(0.855160558154619)-π/2
    2×0.707482415167042-π/2
    1.41496483033408-1.57079632675     		φ = -0.15583150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37137882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15583150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.928487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 577 KachelY 1075 -1.37137882 -0.15583150 -78.574219 -8.928487
    Oben rechts KachelX + 1 578 KachelY 1075 -1.36831086 -0.15583150 -78.398437 -8.928487
    Unten links KachelX 577 KachelY + 1 1076 -1.37137882 -0.15886156 -78.574219 -9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 578 KachelY + 1 1076 -1.36831086 -0.15886156 -78.398437 -9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15583150--0.15886156) × R
    0.00303006 × 6371000     		dl = 19304.51226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15583150--0.15886156) × R
    0.00303006 × 6371000     		dr = 19304.51226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37137882--1.36831086) × cos(-0.15583150) × R
    0.00306796000000009 × 0.987882822184733 × 6371000     		do = 19309.1311276484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37137882--1.36831086) × cos(-0.15886156) × R
    0.00306796000000009 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 19299.8506140807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15583150)-sin(-0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987882822184733-0.987408017809851)×R²
    abs(-1.36831086--1.37137882)×0.000474804374882565×R²
    0.00306796000000009×0.000474804374882565×6371000²
    0.00306796000000009×0.000474804374882565×40589641000000     		ar = 372664065.816961m²