Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57698 / 44582
↖ ↑ ↗
← N 49.770622°
W 21.527710°		 ← 197.26 m → N 49.770622°
W 21.524963°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.768848°
W 21.527710°		 ← 197.27 m →
38 909 m²		 N 49.768848°
W 21.524963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440204620361328 y=0.340137481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440204620361328 × 217)
    floor (0.440204620361328 × 131072)
    floor (57698.5)     		tx = 57698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340137481689453 × 217)
    floor (0.340137481689453 × 131072)
    floor (44582.5)     		ty = 44582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57698 / 44582 ti = "17/57698/44582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57698/44582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57698 ÷ 217
    57698 ÷ 131072     		x = 0.440200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44582 ÷ 217
    44582 ÷ 131072     		y = 0.340133666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440200805664062 × 2 - 1) × π
    -0.119598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37572942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340133666992188 × 2 - 1) × π
    0.319732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00446979463866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37572942} λ = -0.37572942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00446979463866))-π/2
    2×atan(2.7304591848691)-π/2
    2×1.21972877536589-π/2
    2.43945755073177-1.57079632675     		φ = 0.86866122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37572942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.527710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86866122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.770622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57698 KachelY 44582 -0.37572942 0.86866122 -21.527710 49.770622
    Oben rechts KachelX + 1 57699 KachelY 44582 -0.37568148 0.86866122 -21.524963 49.770622
    Unten links KachelX 57698 KachelY + 1 44583 -0.37572942 0.86863026 -21.527710 49.768848
    Unten rechts KachelX + 1 57699 KachelY + 1 44583 -0.37568148 0.86863026 -21.524963 49.768848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86866122-0.86863026) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86866122-0.86863026) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37572942--0.37568148) × cos(0.86866122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		do = 197.258981248109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37572942--0.37568148) × cos(0.86863026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645872873923116 × 6371000     		du = 197.266200463765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86866122)-sin(0.86863026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645849237357134-0.645872873923116)×R²
    abs(-0.37568148--0.37572942)×2.36365659815885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36365659815885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36365659815885e-05×40589641000000     		ar = 38909.2885612024m²