Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57694 / 84638
↖ ↑ ↗
← S 46.373464°
W 21.538696°		 ← 210.73 m → S 46.373464°
W 21.535950°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.375359°
W 21.538696°		 ← 210.72 m →
44 398 m²		 S 46.375359°
W 21.535950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440174102783203 y=0.645740509033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440174102783203 × 217)
    floor (0.440174102783203 × 131072)
    floor (57694.5)     		tx = 57694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645740509033203 × 217)
    floor (0.645740509033203 × 131072)
    floor (84638.5)     		ty = 84638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57694 / 84638 ti = "17/57694/84638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57694/84638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57694 ÷ 217
    57694 ÷ 131072     		x = 0.440170288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84638 ÷ 217
    84638 ÷ 131072     		y = 0.645736694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440170288085938 × 2 - 1) × π
    -0.119659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37592117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645736694335938 × 2 - 1) × π
    -0.291473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.915690656542313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37592117} λ = -0.37592117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915690656542313))-π/2
    2×atan(0.400240102165225)-π/2
    2×0.380713344598969-π/2
    0.761426689197937-1.57079632675     		φ = -0.80936964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37592117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.538696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80936964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.373464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57694 KachelY 84638 -0.37592117 -0.80936964 -21.538696 -46.373464
    Oben rechts KachelX + 1 57695 KachelY 84638 -0.37587323 -0.80936964 -21.535950 -46.373464
    Unten links KachelX 57694 KachelY + 1 84639 -0.37592117 -0.80940271 -21.538696 -46.375359
    Unten rechts KachelX + 1 57695 KachelY + 1 84639 -0.37587323 -0.80940271 -21.535950 -46.375359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80936964--0.80940271) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80936964--0.80940271) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37592117--0.37587323) × cos(-0.80936964) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689954857597365 × 6371000     		do = 210.729972948376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37592117--0.37587323) × cos(-0.80940271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689930919421282 × 6371000     		du = 210.722661613231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80936964)-sin(-0.80940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689954857597365-0.689930919421282)×R²
    abs(-0.37587323--0.37592117)×2.3938176082261e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3938176082261e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3938176082261e-05×40589641000000     		ar = 44397.7107437997m²