Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57694 / 38272
↖ ↑ ↗
← N 59.712097°
W 21.538696°		 ← 154.04 m → N 59.712097°
W 21.535950°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 59.710712°
W 21.538696°		 ← 154.05 m →
23 730 m²		 N 59.710712°
W 21.535950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440174102783203 y=0.291996002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440174102783203 × 217)
    floor (0.440174102783203 × 131072)
    floor (57694.5)     		tx = 57694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291996002197266 × 217)
    floor (0.291996002197266 × 131072)
    floor (38272.5)     		ty = 38272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57694 / 38272 ti = "17/57694/38272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57694/38272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57694 ÷ 217
    57694 ÷ 131072     		x = 0.440170288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38272 ÷ 217
    38272 ÷ 131072     		y = 0.2919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440170288085938 × 2 - 1) × π
    -0.119659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37592117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2919921875 × 2 - 1) × π
    0.416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30695163124121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37592117} λ = -0.37592117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30695163124121))-π/2
    2×atan(3.69489313047317)-π/2
    2×1.30648451286067-π/2
    2.61296902572134-1.57079632675     		φ = 1.04217270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37592117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.538696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04217270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.712097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57694 KachelY 38272 -0.37592117 1.04217270 -21.538696 59.712097
    Oben rechts KachelX + 1 57695 KachelY 38272 -0.37587323 1.04217270 -21.535950 59.712097
    Unten links KachelX 57694 KachelY + 1 38273 -0.37592117 1.04214852 -21.538696 59.710712
    Unten rechts KachelX + 1 57695 KachelY + 1 38273 -0.37587323 1.04214852 -21.535950 59.710712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04217270-1.04214852) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dl = 154.050780000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04217270-1.04214852) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dr = 154.050780000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37592117--0.37587323) × cos(1.04217270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504345318204851 × 6371000     		do = 154.040042028329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37592117--0.37587323) × cos(1.04214852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504366197537114 × 6371000     		du = 154.046419113837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04217270)-sin(1.04214852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504345318204851-0.504366197537114)×R²
    abs(-0.37587323--0.37592117)×2.08793322638012e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08793322638012e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08793322638012e-05×40589641000000     		ar = 23730.4798242253m²