Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57693 / 84575
↖ ↑ ↗
← S 46.253948°
W 21.541443°		 ← 211.15 m → S 46.253948°
W 21.538696°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
S 46.255847°
W 21.541443°		 ← 211.14 m →
44 593 m²		 S 46.255847°
W 21.538696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440166473388672 y=0.645259857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440166473388672 × 217)
    floor (0.440166473388672 × 131072)
    floor (57693.5)     		tx = 57693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645259857177734 × 217)
    floor (0.645259857177734 × 131072)
    floor (84575.5)     		ty = 84575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57693 / 84575 ti = "17/57693/84575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57693/84575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57693 ÷ 217
    57693 ÷ 131072     		x = 0.440162658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84575 ÷ 217
    84575 ÷ 131072     		y = 0.645256042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440162658691406 × 2 - 1) × π
    -0.119674682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37596910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645256042480469 × 2 - 1) × π
    -0.290512084960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.912670631866249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37596910} λ = -0.37596910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912670631866249))-π/2
    2×atan(0.401450664193631)-π/2
    2×0.381756323782184-π/2
    0.763512647564368-1.57079632675     		φ = -0.80728368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37596910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.541443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80728368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.253948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57693 KachelY 84575 -0.37596910 -0.80728368 -21.541443 -46.253948
    Oben rechts KachelX + 1 57694 KachelY 84575 -0.37592117 -0.80728368 -21.538696 -46.253948
    Unten links KachelX 57693 KachelY + 1 84576 -0.37596910 -0.80731683 -21.541443 -46.255847
    Unten rechts KachelX + 1 57694 KachelY + 1 84576 -0.37592117 -0.80731683 -21.538696 -46.255847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80728368--0.80731683) × R
    3.31500000000373e-05 × 6371000     		dl = 211.198650000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80728368--0.80731683) × R
    3.31500000000373e-05 × 6371000     		dr = 211.198650000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37596910--0.37592117) × cos(-0.80728368) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.691463282575758 × 6371000     		do = 211.146631637682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37596910--0.37592117) × cos(-0.80731683) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.691439334251083 × 6371000     		du = 211.139318728644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80728368)-sin(-0.80731683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691463282575758-0.691439334251083)×R²
    abs(-0.37592117--0.37596910)×2.3948324675227e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3948324675227e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3948324675227e-05×40589641000000     		ar = 44593.1113197931m²