Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57691 / 38375
↖ ↑ ↗
← N 59.569114°
W 21.546936°		 ← 154.70 m → N 59.569114°
W 21.544189°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
N 59.567723°
W 21.546936°		 ← 154.70 m →
23 930 m²		 N 59.567723°
W 21.544189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440151214599609 y=0.292781829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440151214599609 × 217)
    floor (0.440151214599609 × 131072)
    floor (57691.5)     		tx = 57691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292781829833984 × 217)
    floor (0.292781829833984 × 131072)
    floor (38375.5)     		ty = 38375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57691 / 38375 ti = "17/57691/38375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57691/38375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57691 ÷ 217
    57691 ÷ 131072     		x = 0.440147399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38375 ÷ 217
    38375 ÷ 131072     		y = 0.292778015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440147399902344 × 2 - 1) × π
    -0.119705200195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37606498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292778015136719 × 2 - 1) × π
    0.414443969726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.30201413058035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37606498} λ = -0.37606498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30201413058035))-π/2
    2×atan(3.67669455790345)-π/2
    2×1.30523675343115-π/2
    2.6104735068623-1.57079632675     		φ = 1.03967718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37606498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.546936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03967718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.569114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57691 KachelY 38375 -0.37606498 1.03967718 -21.546936 59.569114
    Oben rechts KachelX + 1 57692 KachelY 38375 -0.37601704 1.03967718 -21.544189 59.569114
    Unten links KachelX 57691 KachelY + 1 38376 -0.37606498 1.03965290 -21.546936 59.567723
    Unten rechts KachelX + 1 57692 KachelY + 1 38376 -0.37601704 1.03965290 -21.544189 59.567723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03967718-1.03965290) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dl = 154.687879999214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03967718-1.03965290) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dr = 154.687879999214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37606498--0.37601704) × cos(1.03967718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506498632183279 × 6371000     		do = 154.697719543464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37606498--0.37601704) × cos(1.03965290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506519567239738 × 6371000     		du = 154.704113648575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03967718)-sin(1.03965290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506498632183279-0.506519567239738)×R²
    abs(-0.37601704--0.37606498)×2.09350564595034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09350564595034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09350564595034e-05×40589641000000     		ar = 23930.3568232655m²