Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57689 / 44247
↖ ↑ ↗
← N 50.361232°
W 21.552429°		 ← 194.84 m → N 50.361232°
W 21.549682°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.359480°
W 21.552429°		 ← 194.85 m →
37 961 m²		 N 50.359480°
W 21.549682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440135955810547 y=0.337581634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440135955810547 × 217)
    floor (0.440135955810547 × 131072)
    floor (57689.5)     		tx = 57689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337581634521484 × 217)
    floor (0.337581634521484 × 131072)
    floor (44247.5)     		ty = 44247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57689 / 44247 ti = "17/57689/44247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57689/44247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57689 ÷ 217
    57689 ÷ 131072     		x = 0.440132141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44247 ÷ 217
    44247 ÷ 131072     		y = 0.337577819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440132141113281 × 2 - 1) × π
    -0.119735717773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37616085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337577819824219 × 2 - 1) × π
    0.324844360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.02052865601138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37616085} λ = -0.37616085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02052865601138))-π/2
    2×atan(2.7746612176376)-π/2
    2×1.22488282504574-π/2
    2.44976565009149-1.57079632675     		φ = 0.87896932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37616085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.552429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87896932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.361232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57689 KachelY 44247 -0.37616085 0.87896932 -21.552429 50.361232
    Oben rechts KachelX + 1 57690 KachelY 44247 -0.37611291 0.87896932 -21.549682 50.361232
    Unten links KachelX 57689 KachelY + 1 44248 -0.37616085 0.87893874 -21.552429 50.359480
    Unten rechts KachelX + 1 57690 KachelY + 1 44248 -0.37611291 0.87893874 -21.549682 50.359480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87896932-0.87893874) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87896932-0.87893874) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37616085--0.37611291) × cos(0.87896932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637945190782435 × 6371000     		do = 194.844881974039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37616085--0.37611291) × cos(0.87893874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637968739584697 × 6371000     		du = 194.852074384395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87896932)-sin(0.87893874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637945190782435-0.637968739584697)×R²
    abs(-0.37611291--0.37616085)×2.35488022612973e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35488022612973e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35488022612973e-05×40589641000000     		ar = 37961.389836901m²