Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57689 / 38264
↖ ↑ ↗
← N 59.723177°
W 21.552429°		 ← 153.99 m → N 59.723177°
W 21.549682°		 →
↑
153.99 m
↓
↑
153.99 m
↓
N 59.721792°
W 21.552429°		 ← 154 m →
23 713 m²		 N 59.721792°
W 21.549682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440135955810547 y=0.291934967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440135955810547 × 217)
    floor (0.440135955810547 × 131072)
    floor (57689.5)     		tx = 57689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291934967041016 × 217)
    floor (0.291934967041016 × 131072)
    floor (38264.5)     		ty = 38264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57689 / 38264 ti = "17/57689/38264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57689/38264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57689 ÷ 217
    57689 ÷ 131072     		x = 0.440132141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38264 ÷ 217
    38264 ÷ 131072     		y = 0.29193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440132141113281 × 2 - 1) × π
    -0.119735717773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37616085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29193115234375 × 2 - 1) × π
    0.4161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30733512643817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37616085} λ = -0.37616085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30733512643817))-π/2
    2×atan(3.69631037597805)-π/2
    2×1.30658120385337-π/2
    2.61316240770675-1.57079632675     		φ = 1.04236608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37616085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.552429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04236608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.723177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57689 KachelY 38264 -0.37616085 1.04236608 -21.552429 59.723177
    Oben rechts KachelX + 1 57690 KachelY 38264 -0.37611291 1.04236608 -21.549682 59.723177
    Unten links KachelX 57689 KachelY + 1 38265 -0.37616085 1.04234191 -21.552429 59.721792
    Unten rechts KachelX + 1 57690 KachelY + 1 38265 -0.37611291 1.04234191 -21.549682 59.721792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04236608-1.04234191) × R
    2.41700000001011e-05 × 6371000     		dl = 153.987070000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04236608-1.04234191) × R
    2.41700000001011e-05 × 6371000     		dr = 153.987070000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37616085--0.37611291) × cos(1.04236608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504178324748177 × 6371000     		do = 153.989037928071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37616085--0.37611291) × cos(1.04234191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504199197802508 × 6371000     		du = 153.995413096137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04236608)-sin(1.04234191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504178324748177-0.504199197802508)×R²
    abs(-0.37611291--0.37616085)×2.0873054330961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0873054330961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0873054330961e-05×40589641000000     		ar = 23712.8116106172m²