Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57689 / 38261
↖ ↑ ↗
← N 59.727331°
W 21.552429°		 ← 153.97 m → N 59.727331°
W 21.549682°		 →
↑
153.92 m
↓
↑
153.92 m
↓
N 59.725947°
W 21.552429°		 ← 153.98 m →
23 700 m²		 N 59.725947°
W 21.549682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440135955810547 y=0.291912078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440135955810547 × 217)
    floor (0.440135955810547 × 131072)
    floor (57689.5)     		tx = 57689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291912078857422 × 217)
    floor (0.291912078857422 × 131072)
    floor (38261.5)     		ty = 38261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57689 / 38261 ti = "17/57689/38261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57689/38261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57689 ÷ 217
    57689 ÷ 131072     		x = 0.440132141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38261 ÷ 217
    38261 ÷ 131072     		y = 0.291908264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440132141113281 × 2 - 1) × π
    -0.119735717773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37616085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291908264160156 × 2 - 1) × π
    0.416183471679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.30747893713703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37616085} λ = -0.37616085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30747893713703))-π/2
    2×atan(3.6968419831809)-π/2
    2×1.30661745472077-π/2
    2.61323490944154-1.57079632675     		φ = 1.04243858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37616085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.552429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04243858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.727331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57689 KachelY 38261 -0.37616085 1.04243858 -21.552429 59.727331
    Oben rechts KachelX + 1 57690 KachelY 38261 -0.37611291 1.04243858 -21.549682 59.727331
    Unten links KachelX 57689 KachelY + 1 38262 -0.37616085 1.04241442 -21.552429 59.725947
    Unten rechts KachelX + 1 57690 KachelY + 1 38262 -0.37611291 1.04241442 -21.549682 59.725947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04243858-1.04241442) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dl = 153.923359999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04243858-1.04241442) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dr = 153.923359999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37616085--0.37611291) × cos(1.04243858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504115712454382 × 6371000     		do = 153.969914521906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37616085--0.37611291) × cos(1.04241442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504136577755922 × 6371000     		du = 153.976287322069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04243858)-sin(1.04241442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504115712454382-0.504136577755922)×R²
    abs(-0.37611291--0.37616085)×2.0865301539108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0865301539108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0865301539108e-05×40589641000000     		ar = 23700.0570446471m²