Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57684 / 84530
↖ ↑ ↗
← S 46.168419°
W 21.566162°		 ← 211.52 m → S 46.168419°
W 21.563416°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 46.170321°
W 21.566162°		 ← 211.51 m →
44 739 m²		 S 46.170321°
W 21.563416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440097808837891 y=0.644916534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440097808837891 × 217)
    floor (0.440097808837891 × 131072)
    floor (57684.5)     		tx = 57684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644916534423828 × 217)
    floor (0.644916534423828 × 131072)
    floor (84530.5)     		ty = 84530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57684 / 84530 ti = "17/57684/84530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57684/84530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57684 ÷ 217
    57684 ÷ 131072     		x = 0.440093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84530 ÷ 217
    84530 ÷ 131072     		y = 0.644912719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.289825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.910513471383347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37640054} λ = -0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910513471383347))-π/2
    2×atan(0.402317592417742)-π/2
    2×0.382502703552495-π/2
    0.765005407104989-1.57079632675     		φ = -0.80579092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80579092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.168419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57684 KachelY 84530 -0.37640054 -0.80579092 -21.566162 -46.168419
    Oben rechts KachelX + 1 57685 KachelY 84530 -0.37635260 -0.80579092 -21.563416 -46.168419
    Unten links KachelX 57684 KachelY + 1 84531 -0.37640054 -0.80582412 -21.566162 -46.170321
    Unten rechts KachelX + 1 57685 KachelY + 1 84531 -0.37635260 -0.80582412 -21.563416 -46.170321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80579092--0.80582412) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dl = 211.517200000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80579092--0.80582412) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dr = 211.517200000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37640054--0.37635260) × cos(-0.80579092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692540898919727 × 6371000     		do = 211.519816532929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37640054--0.37635260) × cos(-0.80582412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692516948768106 × 6371000     		du = 211.512501540147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80579092)-sin(-0.80582412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692540898919727-0.692516948768106)×R²
    abs(-0.37635260--0.37640054)×2.39501516210439e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39501516210439e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39501516210439e-05×40589641000000     		ar = 44739.3057183646m²