Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57684 / 38256
↖ ↑ ↗
← N 59.734254°
W 21.566162°		 ← 153.94 m → N 59.734254°
W 21.563416°		 →
↑
153.92 m
↓
↑
153.92 m
↓
N 59.732869°
W 21.566162°		 ← 153.94 m →
23 695 m²		 N 59.732869°
W 21.563416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440097808837891 y=0.291873931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440097808837891 × 217)
    floor (0.440097808837891 × 131072)
    floor (57684.5)     		tx = 57684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291873931884766 × 217)
    floor (0.291873931884766 × 131072)
    floor (38256.5)     		ty = 38256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57684 / 38256 ti = "17/57684/38256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57684/38256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57684 ÷ 217
    57684 ÷ 131072     		x = 0.440093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38256 ÷ 217
    38256 ÷ 131072     		y = 0.2918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2918701171875 × 2 - 1) × π
    0.416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37640054} λ = -0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30771862163513))-π/2
    2×atan(3.69772816509399)-π/2
    2×1.30667786282865-π/2
    2.6133557256573-1.57079632675     		φ = 1.04255940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04255940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.734254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57684 KachelY 38256 -0.37640054 1.04255940 -21.566162 59.734254
    Oben rechts KachelX + 1 57685 KachelY 38256 -0.37635260 1.04255940 -21.563416 59.734254
    Unten links KachelX 57684 KachelY + 1 38257 -0.37640054 1.04253524 -21.566162 59.732869
    Unten rechts KachelX + 1 57685 KachelY + 1 38257 -0.37635260 1.04253524 -21.563416 59.732869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04255940-1.04253524) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dl = 153.923359999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04255940-1.04253524) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dr = 153.923359999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37640054--0.37635260) × cos(1.04255940) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504011364259162 × 6371000     		do = 153.938043897341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37640054--0.37635260) × cos(1.04253524) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504032231032099 × 6371000     		du = 153.944417146907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04255940)-sin(1.04253524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504011364259162-0.504032231032099)×R²
    abs(-0.37635260--0.37640054)×2.08667729367784e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08667729367784e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08667729367784e-05×40589641000000     		ar = 23695.1514456521m²